Доказательство. 1.Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

1. Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом ,

на интервале при любом .

Отсюда следует, что для всех , т.е. функция имеет в точке локальный минимум.

2. Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом ,

на интервале при любом .

Отсюда следует, что для всех , т.е. функция имеет в точке локальный максимум.

3. Предположим, что на . Из 1-го и 2-го утверждения леммы следуют импликации:

на интервале при любом ,

на интервале при любом .

Следовательно, не является ни наибольшим, ни наименьшим значением функции в окрестности , т.е. не является точкой локального экстремума. ■

Из теоремы 8.3 следует, что будет точкой локального минимума функции , если знак производной при переходе через точку меняется со знака – на знак +. Если же знак в точке меняется со знака + на знак –, то будет точкой локального максимума функции .

Примеры. Найти точки локального экстремума функции :

3. ; 4. ; 5. .