Примеры. 1. Функция выпукла вверх на интервале , так как

1. Функция выпукла вверх на интервале , так как

.

2. Функция выпукла вниз на интервале , так как

. ●

Точка называется точкой перегиба графика дифференцируемой функции , если найдется такая окрестность этой точки, что на одном из интервалов , функция выпукла вверх, а на другом выпукла вниз.

Рис. 8.3 Рис. 8.4

На рис. 8.3 точка является точкой перегиба графика функции , а на рис. 8.4 точка — точка перегиба графика функции . Ниже эти утверждения будут доказаны.

Теорема 8.5. Функция в точке имеет непрерывную вторую производную. Если — точка перегиба функции , то .

Доказательство теоремы проведем методом от противного, т.е. предположим, что . Тогда или .

Если , то из теоремы 4.3 следует, что найдется окрестность точки , в которой . Отсюда и из следствия к теореме 8.3 вытекает, что в этой окрестности выпукла вниз (вверх), т.е. не является точкой перегиба графика функции . Противоречие. ■

Функция непрерывна на отрезке . Ее первая производная в точке равна 1, а вторая производная в этой точке равна нулю. Так как слева (справа) от точки функция (, то из следствия к теореме 8.4 получаем, что слева от точки функция выпукла вверх, а справа — функция выпукла вниз (рис. 8.4).

Заметим, что условие является необходимым условием наличия в точке перегиба у кривой, но не является достаточным условием, т.е. из условия не следует в общем случае, что точка — точка перегиба графика функции .

Например, вторая производная функции , равная , обращается в нуль в точке . Эта точка не является точкой перегиба, так как из условия и следствия к теореме 8.4 функция выпукла вниз на всей числовой оси.

В точке перегиба функции функция может быть не определена. Рассмотрим функцию , которая определена на всей числовой прямой. Ее вторая производная не существует в точке . Так как на интервале функция , а на интервале — , то на интервале функция выпукла вниз, а на интервале функция выпукла вверх (следствие из теоремы 8.4). Следовательно, точка является точкой перегиба графика функции (рис. 8.3).

Только точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, могут быть точками перегиба графика функции . Эти точки называются критическими точками 2-го рода.

В нижеследующей теореме приводится условие, при котором критические точки 2-го рода являются точками перегиба графика функции.

Теорема 8.6. Функция имеет в окрестности точки вторую производную , кроме, возможно, самой точки . Если при переходе через точку знак меняется, то точка — точка перегиба графика функции .

Доказательство. Из следствия к теореме 8.4 следует, что при переходе через точку меняется выпуклость вверх кривой на выпуклость вниз или наоборот. Отсюда следует, что — точка перегиба графика функции . ■

Примеры. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости кривой :

7. , 8. .