Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть пространство ориентировано и - ортонормированный положительно ориентированный репер.
Смешаннымпроизведениемвекторов , и (взятых в указ- анном порядке) называется скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и . Следовательно, смешанное произведение есть число. Пусть , и - некомпланарные векторы. От некоторой точки М пространства
отложим векторы , и и построим параллелепипед так, чтобы отрезки МА, MB и МС были ребрами этого параллелепи-педа. Его назовем параллеле-пипедом, построенном на векторах , и . |
Заметим, что в зависимости от выбора точки М на данных векторах можно построить бесконечное множество параллелепипедов, но все они равны друг другу, поэтому имеют один и тот же объем.
Теорема 1. (геометрический смысл смешанного произведения). Если , и - три некомпланарных вектора, то абсолютнаявеличинасмешанногопроизведениявекторов , , численноравнаобъемупараллелепипеда, построенногонаэтихвекторах:
.
Векторное произведение , где S - площадь параллелограмма, построенного на векторах и (длина вектора , - орт вектора . Следовательно, , где - длина соответствующей высоты МН параллелепипеда, причем знак "+" имеет место в том случае, когда тройки векторов и ориентированы одинаково (угол острый), а знак "-" - в противном случае.
Следовательно, , таким образом,
.
Теорема 2. Если векторы , и имеют координаты , , относительно ортонормированного базиса , то: .
Относительно ортонормированного базиса :
, и следовательно
.
Таким образом, смешанное произведение векторов совпадает с определителем этой системы векторов относительно ортонормированного базиса:
и, значит, обладает следующими свойствами:
1°. Векторы , , компланарны тогда, и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (см. §6).
2°. Смешанное произведение некомпланарных векторов , , положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда тройки векторов и ориентированы одинаково (противоположно) (§6).
3°. При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет знак, а его абсолютная величина не меняется.
4°. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение.
Свойства 3°, 4° следуют из свойств определителя третьего порядка.
В частности и в силу коммутативности скалярного произведения .
5°. При умножении одного из векторов , , на число на то же число умножается смешанное произведение векторов , , .
6. Смешанное произведение векторов обладает свойством дистрибутивности относительно каждого сомно-жителя
Свойства 4°, 5° следуют из аналогичных свойств скалярного и векторного произведений векторов (или из свойств определителя третьего порядка).
Теорема З. Если векторы , , имеют координаты , , относительно произвольного базиса , то
.
Воспользовавшись свойствами смешанного произведения векторов, получим:
Пусть задан тетраэдр ABCD координатами своих вершин относительно ортонормированного репера : , , . Требуется найти его объем V.
Известно, что объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, построенного на ребрах тетраэдра, исходящих из одной вершины. Поэтому (теорема I):
,
или в координатах:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 261 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!