Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1.Рассмотрим в пространстве две аффинные системы координат и . Первую систему назовем "старой", а вторую - "новой". Пусть - произвольная точка пространства, которая в старой системе координат имеет координаты , , , а в новой системе - : и .
Задача преобразования координат состоит в следующем: зная координаты "нового" начала координат и "новых" координатных векторов в "старой " системе:
(1) (2) (3) |
(4)
выразить (старые) координаты , , точки через (новые) координаты той же точки .
Так как , (*)
то воспользовавшись формулами (1), (2), (3), (4) и сравнив одноименные координаты векторов, стоящих в левых частях равенства (*), получим:
(5)
Формулы (5) определяют искомую зависимость между старыми и новыми координатами точки и называются формулами п реобразования а ффиннойсистемыкоординатв п ространстве.
Заметим, что в этих формулах коэффициенты при являются соответственно координатами новых координатных векторов относительно базиса , и свободные члены - координатами нового начала относительно старой системы координат
Заметим, что в этих формулах матрица С = , составленная из коэффициентов при , есть в точности матрица перехода от базиса к базису .
Так как векторы не компланарны, то определитель матрицы С не равен нулю, det(C) 0. Поэтому система (5) разрешима относительно . Это позволяет выразить координаты точки в новой системе через координаты той же точки в старой системе.
Если в частности, новая система координат отличается от старой лишь началом координат (перенос начала), то формулы (5) принимают вид:
(6) |
Если новая система координат отличается от старой лишь координатными векторами (замена координатных векторов), то формула (5) принимают вид:
(7)
2. Рассмотрим теперь преобразование прямоугольных систем координат.В случае перехода от одной прямоугольной системы координат к другой получаем формулы преобразования координат вида (5), так как прямоугольная система координат является частным случаем аффинной. В данном случае на элементы матрицы С накладываются дополнительные ограничения: элементы столбцов матрицы С являются соответственно координатами единичных и взаимно ортогональных векторов в ортонормированном базисе (), поэтому сумма квадратовэлементовкаждогостолбцаматрицы С равнаединице, а суммапроизведенийсоответствующихэлементов любых двухееразличныхстолбцовравнанулю.
По формулам § 2 получаем:
Отсюда, учитывая эти соотношения, замечаем,что векторы в базисе () имеют координаты:
Таким образом, суммаквадратовкаждойстрокиматрицы С равнаединице, а суммапроизведенийсоответствующихэлементовлюбыхдвухееразличныхстрокравнанулю.
Квадратная матрица С, обладающая такими свойствами, называется ортогональной.
Следовательно, матрица С перехода от ортонормированного базиса () к ортонормированномубазису () являетсяортогональной.
Матрица С (обратная матрице С) перехода от базиса () к базису () совпадает с матрицей С , транспонированной к матрице С, и, значит,
det (С ) = det (С ) = det (С).
Так как det (С ) = , то для ортогональной матрицы С имеем:
,
знак плюс имеет место в том случае, когда базисы () и () ориентированы одинаково, и знак минус, когда ориентированы противоположно.
§ 5. Векторное произведение векторов и его свойства
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 177 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!