Ориентация пространства

1. Докажем теорему, которая выражает признак компланарности трех векторов, заданных своими координатами.

Теорема. Для того чтобы векторы , , , заданные координатами в произвольном базисе (, , ), были компланарными необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

= 0 (1)

 Пусть векторы , , компланарны. Тогда они линейно зависимы, то есть существуют числа и не равные нулю одновременно и такие, что

+ + = (2)

(3)

Таким образом, столбцы определителя в левой части равенства (1) линейно зависимы. Из курса алгебры известно, что в этом случае , то есть выполняется равенство (1).

Обратно, пусть выполняется равенство (1). Тогда столбцы определителя линейно зависимы, то есть система (3) однородных линейных уравнений относительно и имеет ненулевые решения. Умножив равенства (3) соответственно на , , и сложив, получим равенство (2). Следовательно, векторы , и линейно зависимы, поэтому они компланарны. n

2. Понятие ориентации пространства вводятся по аналогии с ориентацией плоскости.

Так как любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис трехмерного векторного пространства , то в пространстве существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим два из них:

А = , В = . Разложим векторы базиса В по векторам базиса А:

, , .

Из координат векторов можно составить матрицу третьего порядка:

Координаты вектора образуют первый столбец этой матрицы, координаты вектора - второй столбец, а координаты вектора - третий столбец. Она называется матрицей переходаотбазиса А кбазису В. Определитель матрицы перехода от базиса А к базису В обозначим так: А| В. Таким образом,

А|В = | = .

Так как векторы линейной независимы, то по доказанной выше теореме имеем А| В .

Нетрудно убедиться в том, что имеет место следующее утверждение: для любых базисов А, В и С пространства выполняются равенства

1 . А|А = 1,

2 . (А|В) В|С) = (А|С),

3 . (А|В) В|А) = 1.

3. Обозначим через множество всех базисов пространства. Будем говорить, что базисы А, В из находятся в отношении (одинаково ориентированы), если А|В > 0, и запишем так: А В. Используя свойства 1 - 3 , нетрудно убедиться, что отношение является отношением эквивалентности на множестве всех базисов пространства, то есть

А А; А В В А; А В, В С А С;

(рефлексивность, симметричность и транзитивность отношения на множестве всех базисов пространства)

Покажем, что фактор-множество состоит лишь из двух элементов. Для этого рассмотрим базисы А = и В = . Так как А|В = = - 1,

то классы эквивалентности К_А и К_В не совпадают. С другой стороны, любой базис С = принадлежит либо классу К_А либо классу К_В. В самом деле, по свойству 2 имеем: (А|С) = (А|В) В|С) = - (В| С). Отсюда следует, что либо (А| С) > 0, либо (В| С) > 0. В первом случае С К_А, а во втором случае С К_В.

Каждый из элементов фактор-множества называется ориентациейвекторного пространства . Выделим одну из этих ориентаций, назовем ее положительной (а другую - отрицательной). Векторное пространство , в котором выбрана положительная ориентация, называется ориентированным. Базисы положительной ориентации называются правымибазисами, а базисы отрицательной ориентации - левыми.

Пространство называется ориентированным, если ориентировано векторное пространство . При этом система координат = (, , , ) называется правой (левой), если базис (, , ) - правый (левый).

Обычно ориентацию пространства выбирают так, чтобы оси , , правой системы координат () были направлены вдоль большого, указательного и среднего пальцев правой руки. При таком выборе ориентации оси левой системы координат будут направлены вдоль соответствующих пальцев левой руки.

В дальнейшем изложении всюду, где нет специальных оговорок, предполагается, что если в пространстве выбрана система координат, то она является правой. Таким образом, если в пространствезадана системакоординат, топространствосчитаетсяориентированным.