Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Собственным вектором квадратной матрицы порядка , принадлежащим ее собственному значению , называется n -мерный вектор , для которого .
Множество всех собственных векторов матрицы , принадлежащих ее собственному значению , обозначим символом . В следующей теореме отыскание собственных векторов сводится к решению однородной системы линейных уравнений.
□ Теорема 3.10. Множество всех собственных векторов матрицы порядка , принадлежащих ее собственному значению l, совпадает с множеством всех решений однородной системы линейных уравнений , где
Доказательство. Рассмотрим следующую цепочку равносильных утверждений:
■
Следствие. Множество является подпространством пространства
Так как множество решений однородной системы уравнений является подпространством пространства , то утверждение следствия вытекает из теоремы 3.10.
Теперь сформулируем алгоритм отыскания всех собственных векторов матрицы .
1. Найти все собственные значения матрицы , т. е. найти все корни уравнения =0.
2. Для каждого , , найти базис подпространства , т. е. найти фундаментальный набор решений системы уравнений .
Пример
Найти собственные значения матрицы
.
В примере из п. 3.3 были найдены собственные значения матрицы , а именно . Теперь найдем подпространства собственных векторов и . Так как
= –
то система линейных уравнений имеет следующий вид:
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений содержит один вектор который является базисом подпространства .
Теперь найдем базис подпространства . Построим систему линейных уравнений
.
Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из векторов которые образуют базис подпространства
Задачи
1. Доказать, что матрица порядка имеет единственное собственное значение, если каждый n -мерный вектор является собственным вектором матрицы .
2. Доказать, что все n -мерные векторы тогда и только тогда являются cобственными векторами матрицы , когда матрица имеет вид
3. Доказать, что собственные значения матрицы и совпадают. Найти связь между собственными векторами этих матриц.
4. Найти собственные векторы матриц
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) .
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 245 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!