Доказательство. 1) 2). Из условия для каждого пространства следуе

1) 2). Из условия для каждого пространства следует, в частности, что , . Отсюда вытекает, что , , поэтому .

2) 1). Дано, что . Теперь , т. е. ■

Эта теорема позволяет отождествить линейное преобразование с его матрицей. Следовательно, изучение линейных преобразований – это изучение матриц, рассматриваемых как преобразования пространства .

Пусть даны два линейных преобразования и .

Линейное преобразование, которое задается матрицей , называется суммой линейных преобразований и , и обозначается символом . Итак

.

Произведением линейных преобразований и называется линейное преобразование с матрицей . Если обозначить произведение линейных преобразований символом , то

.

Преобразование называется обратимым, если − обратимая матрица. Обозначим символом линейное преобразование с матрицей , т. е.

.

Преобразование называется обратным для преобразования .

□ Теорема 3.4. Даны линейные преобразования и . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

2) ;

3) , если преобразование обратимо.

Доказательство вытекает из определения преобразований , и , а также свойств умножения матрицы на вектор:

1)

2)

3) ■

Задачи

1. Доказать, что каждое преобразование пространства определяет набор функций от n переменных при помощи которых можно записать преобразование в виде

2. Доказать, что если для каждого вектора пространства , то матрица линейного преобразования .

Выяснить, являются ли следующие преобразования, переводящие вектор в вектор , линейными. Найти матрицы линейных преобразований:

3.

4.

5. фиксированные числа;

6. фиксированное число;

7. фиксированный вектор пространства ;

8. В пространстве выбран базис и n векторов . Если коэффициенты разложения вектора по базису , т. е. , то

9. В пространстве фиксирован базис . Преобразование определяется при помощи формулы

где фиксированный набор чисел, а коэффициенты разложения вектора по базису , т. е.

.

10. Координаты вектора совпадают с координатами вектора , записанными в обратном порядке.