Ядро и образ линейного преобразования

Ядром линейного преобразования называется совокупность всех векторов для которых . Ядро линейного преобразования будем обозначать символом . Итак,

.

□ Теорема 3.5. Ядро линейного преобразования совпадает с множеством решений однородной системы уравнений .

Доказательство теоремы вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений: решение системы уравнений . ■

Следствие. Множество является подпространством.

Так как множество решений однородной системы линейных уравнений является подпространством, то из теоремы 3.5 следует, что множество является подпространством.

Пример

Найти ядро линейного преобразования , где

Решение. Так как ядро совпадает с множеством решений системы уравнений , то базисом подпространства является фундаментальный набор решений этой системы уравнений. Найдем этот базис

.

Векторы образуют базис системы векторов . Вектор разлагается по векторам : . Отсюда следует, что фундаментальный набор решений системы линейных уравнений состоит из одного вектора , который является базисом . Итак, ядро

Так как является подпространством пространства , то вектор принадлежит . Линейное преобразование называется невырожденным, если содержит только нулевой вектор, т. е. .

□ Теорема 3.6. Дано линейное преобразование . Тогда равносильны следующие утверждения:

1. Линейное преобразование является невырожденным.

2. Линейное преобразование f переводит базис пространства в базис этого пространства, т.е. если базис , то и базис пространства .

3. Линейное преобразование обратимо.