Прямые, плоскости и полупространства в

пространствах и

1. Параметрическое уравнени е прямой в пространствах Т и

Т и плоскости в пространстве Т

1. □ Уравнение

= + t

является уравнением прямой в пространстве (или в пространстве ) тогда и только тогда, когдапрямая проходит через точку М параллельно ненулевому вектору .

Доказательство следует из теоремы 2.17.■

Введем координаты точек , и вектора

Теперь параметрическое уравнение прямой в пространстве в координатной форме имеет вид:

Каждый ненулевой вектор, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

2. □ Уравнение

= + +

является уравнением плоскости в пространстве Т тогда и только тогда, когда плоскость проходит через точку параллельно двум неколлинеарным векторам и .

Доказательство следует из теоремы 2.21.■

Запишем параметрическое уравнение плоскости в координатной форме. Для этого введем координаты точек и векторов: Теперь параметрическое уравнение плоскости будет иметь вид:

○ Примеры

1. Написать уравнение прямой l, проходящей через точку М (−2;5) параллельно прямой :

Решение. Коэффициенты при параметре t в уравнении прямой являются координатами вектора , параллельного прямой и, значит, прямой l. Теперь параметрическое уравнение прямой l имеет вид:

2.Найти точку пересечения прямых

Решение. Пусть точка является пересечением прямых. Тогда ее координаты − решение уравнения каждой прямой

Итак, точка имеет координаты .

3. Даны вершины треугольника и . Составить параметрическое уравнение биссектрисы угла .

Решение. Биссектриса проходит через точку . Чтобы написать ее уравнение, достаточно найти координаты направляющего вектора биссектрисы. Вектор будем искать в виде: +

Коэффициенты и найдем из условия равенства косинусов углов между векторами и . Находим координаты векторов , а затем найдем скалярные произведения , , . Теперь имеем следующую цепочку импликаций:

= − ) = 0 ( + )( − ) = 0 + ( − = 0

Полагая, получим координаты вектора . Параметрическое уравнение биссектрисы угла имеет вид:

4.Найти координаты точки которая симметрична точке (4;1;6) относительно прямой, проходящей через точки (−3;5;1) и (1;1;3).

Решение. Прямая проходит через точки и . Ее направляющий вектор коллинеарен вектору = (4;−4;2). Тогда направляющий вектор прямой . Теперь параметрическое уравнение прямой будет иметь вид:

Пусть координаты точки Точка − середина

отрезка и, значит, принадлежит прямой . Отсюда следует, что ее координаты являются решениями уравнения прямой :

Так как точки и симметричны относительно прямой, то вектор перпендикулярен прямой . Отсюда вытекает следующая цепочка импликаций:

прямой

Итак, координаты точки :

5.Доказать, что в пространстве прямые

: = + и : = + лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда , , = 0.

Решение вытекает из следующей цепочки равносильных утверждений:

прямые и лежат в плоскости векторы , , отложенные от точки лежат в плоскости векторы , , линейно зависимы

6.Написать параметрическое уравнение плоскости, проходящей через точки (2;−1;2) и (1;0;1) параллельно прямой

Решение. Чтобы написать параметрическое уравнение плоскости надо знать координаты точки, принадлежащей плоскости, и координаты пары неколлинеарных векторов, параллельных плоскости.

В качестве точки, принадлежащей плоскости можно взять любую из точек . Так как эти точки принадлежат плоскости, то вектор параллелен плоскости, т.е. вектор = =(−1;1;−1) параллелен плоскости. Вектор параллелен данной прямой и, значит, параллелен искомой плоскости. Векторы и – неколлинеарные векторы, так как координаты этих векторов не пропорциональны. Теперь параметрическое уравнение плоскости в векторной форме имеет вид:

= + + ,

или в координатной форме

7.Написать уравнение плоскости, в которой лежит каждая прямая

: :

Решение. Выясним сначала, лежат ли прямые и в одной плоскости. Прямая проходит через точку (−2;0;1) параллельно вектору = (2;−3;4), а прямая проходит через точку (3;1;7) параллельно вектору = (3;4;2). Из задачи 5 следует, что прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда . Так как = (5;1;1), то

= 0.

Итак, прямые и лежат в одной плоскости.

Напишем параметрическое уравнение плоскости , которая проходит через прямые и . Точка принадлежит плоскости , а векторы и параллельны плоскости и линейно независимые. Искомое уравнение плоскости имеет вид

8. Написать параметрическое уравнение прямой , перпендикулярной каждой из двух прямых

: :

и пересекающей каждую из прямых .

Решение. Вектор = (1;2;−1) параллелен прямой , а вектор =(−7;2;3) − прямой . Обозначим через направляющий вектор искомой прямой l. По условию прямая l перпендикулярна и прямой , и прямой . Отсюда вытекает

Полагаем координату = 1, а затем найдем значения координат и : =2, . Следовательно, вектор имеет координаты: . Параметрическое уравнение прямой l имеет вид

где координаты точки, принадлежащей прямой l. В условии дано, что прямая l должна пересекать прямые и . Отсюда следует, что прямые l и , а также прямые l и лежат в одной плоскости. Теперь, используя задачу 5, имеем

= 0, = 0.

Вычислим определители и после упрощений получим систему уравнений

Полагая в этой системе найдем значения координат и : = 1, . Параметрическое уравнение прямой l имеет вид

●

Задачи

1.Выяснить, принадлежат ли прямой

точки (2;−5) и (3;1).

2.Даны точки (0;4) и (3;−1). Написать параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (1;2) параллельно прямой MN.

3. Найти точку пересечения прямых и :

4.Найти проекцию точки (−2;−9) на прямую, проходящую через точки M (0;19) и N (−1;8).

5. Составить параметрическое уравнение прямой, равноудаленной от параллельных прямых

6. Написать параметрическое уравнение прямых, которые делят пополам углы, образованные двумя пересекающимися прямыми

а) b)

7. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку (2;−5;3) перпендикулярно прямой

и пересекающей ее.

8. Найти точку пересечения прямых

9. Написать параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точку ( параллельно плоскости

10. Составить параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точки и параллельно прямой

11. Известны координаты вершин тетраэдра: А (0;0;2), B (3;0;5), C (1;1;0) и D (4;1;2). Найти параметрические уравнения его граней.

12.Написать параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через две параллельные прямые

13.Составить параметрическое уравнение плоскости, которая проходит через точку и прямую

2. Общее уравнение прямой в пространствах и

и плоскости в пространстве

1 .□ У равнение

(17)

является уравнением прямой (плоскости) в пространстве (в пространстве ) тогда и только тогда, когда прямая (плоскость) проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Доказательство следует из теоремы 2.21. ■

2. □ У равнение

, ,

является уравнением прямой, перпендикулярной ненулевому вектору .

Доказательство. Вытекает из второго утверждения теоремы 2.20.■

3. □ Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору имеет вид:

.

Доказательство следует из достаточности утверждения 1, в котором равенство (17) записано в координатах.■

4. □ Уравнение

, ,

является уравнением плоскости , перпендикулярной ненулевому вектору .

Доказательство. Вытекает из второго утверждения теоремы 2.20.■

5. □ Уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно ненулевому вектору , имеет вид:

Доказательство следует из достаточности утверждения 1, в котором равенство (17) записано в координатах.■

6. Система уравнений

(18)

является общим уравнением прямой в пространстве , проходящей через точку перпендикулярно линейно независимым векторам .

Доказательство. Следует из теоремы 2.17.■

7. Прямая , заданная уравнением (18) является пересечением непараллельных плоскостей и , которые заданы соответственно уравнениями , .

Доказательство. Из линейной независимости векторов и следует, что плоскости и не параллельны. Из следующей цепочки равносильных утверждений

вытекает, что прямая (18) является пересечением плоскостей и .■

○ Примеры

1. Написать общее уравнение прямой l, проходящей через точку параллельно прямой :

Решение. Вектор перпендикулярен прямой l. Так как прямые и l параллельны, то вектор перпендикулярен прямой . Итак, уравнение прямой имеет вид или

2. Даны уравнения двух сторон и треугольника и . Написать уравнение стороны треугольника, если его высоты пересекаются в точке (5;2).

Решение. Точка − пересечение сторон треугольника и , а поэтому координаты точки решение системы уравнений

(4;−4).

Так как − точка пресечения высот треугольника, то вектор = (1;6) перпендикулярен стороне . Чтобы написать уравнение этой стороны, достаточно найти координаты точки, принадлежащейстороне .

Сначала найдем уравнение высоты Вектор перпендикулярен стороне и, значит, параллелен высоте . Точка лежит на высоте . Теперь можно написать параметрическое уравнение высоты

Точка − пересечение стороны и высоты

Итак, сторона проходит через точку (1;8) перпендикулярно вектору = . Следовательно, общее уравнение стороны имеет вид

3. Написать параметрическое уравнение плоскости, если ее общее уравнение имеет вид .

Решение. Чтобы написать параметрическое уравнение плоскости, надо найти точку, принадлежащую плоскости, и базис , ее направляющего подпространства, т.е. найти фундаментальный набор решений уравнения

.

Таблица, составленная из коэффициентов уравнения , имеет вид

А

Из этой таблицы следует, что вектор − базис системы векторов , , , и = , , 3 . Отсюда фундаментальный набор состоит из двух векторов: и , а точка (3;0 − решение уравнения. Параметрическое уравнение плоскости в векторной форме имеет вид , а в координатной форме

4. Найти общее уравнение плоскости , которая проходит через точки и перпендикулярно плоскости

Решение. Вектор перпендикулярен плоскости и, значит, параллелен плоскости . Точки и лежат в плоскости и, значит, вектор параллелен плоскости . Параметрическое уравнение плоскости имеет вид

.

Чтобы построить общее уравнение плоскости, найдем ее нормальный вектор , который перпендикулярен направляющему подпространству и, значит, является решением системы уравнений

Фундаментальный набор решений этой системы уравнений состоит из одного вектора . Так как плоскость проходит через точку , то ее общее уравнение в векторной форме имеет вид и в координатной форме

.

5. Найти параметрическое уравнение прямой , если известно ее общее уравнение

Решение. Методом Гаусса найдем решение системы уравнений и базис направляющего подпространства , т.е. фундаментальный набор однородной системы уравнений

состоящий из одного вектора . Параметрическое уравнение прямой в векторной форме имеет вид = + или в координатной форме

6. Найти проекцию точки на плоскость

Решение. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости. Нормальный вектор плоскости является направляющим вектором прямой. Следовательно, параметрическое уравнение этой прямой имеет вид

Проекция точки на плоскость совпадает с пересечением прямой и плоскости

.

7. Найти общее уравнение плоскости, если известно ее параметрическое уравнение

Решение. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид: , где , , .

Чтобы построить общее уравнение плоскости найдем ее нормальный вектор , который образует фундаментальный набор решений системы уравнений

ФНР этой системы уравнений . Общее уравнение плоскости в векторной форме имеет вид и в координатной форме

.●

Задачи

1. Найти общее уравнение прямой, проходящей на одинаковых расстояниях от точек и .

2. Даны вершины треугольника , и . Написать общие уравнения его высот.

3. В прямоугольнике даны уравнения стороны и диагонали . Написать общие уравнения других сторон прямоугольника, если точка одна из его вершин.

4. Написать общие уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон: , и

5. Найти точку, симметричную точке относительно прямой

6. Составить общее уравнение плоскости, проходящей на одинаковых расстояниях от точек и .

7. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

8. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точки , и перпендикулярно плоскости

9. Составить параметрическое уравнение прямой

10. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой

11. Найти общее уравнение прямой, принадлежащей плоскости и проходящей через точку параллельно плоскости

12. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости

13. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости

14. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

15. Написать общее уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

и пересекающей ее.

3. Полупространства в пространствах и

Пусть дана прямая (плоскость) в пространстве (в пространстве ) и – нормальный вектор этой прямой (плоскости). Все точки пространства (пространства ), не принадлежащие прямой (плоскости), разобьем на два множества и . Полупространству принадлежат все точки М пространства (пространства ), для которых векторы и одинаково направлены, где – проекция точки на прямую (плоскость) , т.е.

.

Полупространству принадлежат все точки М пространства (пространства ), для которых векторы и противоположно направлены, где – проекция точки на прямую (плоскость) , т.е.

.