Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Прямые гиперплоскости и полупространства



в пространстве

В этом параграфе рассматриваются наиболее важные для приложений множества: прямые, гиперплоскости и полупространства.

1. Прямые в пространстве

Прямой в пространстве называется аффинное множество, размерность которого равна единице.

Ненулевой вектор , параллельный прямой , называется ее направляющим вектором. Направляющий вектор прямой принадлежит подпространству . Это подпространство одномерно и направляющий вектор является его базисом. Отсюда следует, что каждые два направляющих вектора прямой пропорциональны.

□Теорема 2.17. С праведливыследующие утверждения.

1) У равнение

является уравнением прямой тогда и только тогда, когда прямая проходит через точку параллельно ненулевому вектору .

2) Система у равнений

является уравнением прямой тогда и только тогда, когда прямая проходит через точку перпендикулярно линейно независимым векторам .

Доказательство следует из теорем 2.15и 2.16, в формулировке которых .■

Следствие. Множество решений уравнения , является прямой, проходящей через точку параллельно вектору .

Доказательство. Из условия следствия вытекает , а из теоремы 2.13 следует , и, значит, прямая. Теперь утверждение следствия вытекает из необходимости теоремы 2.17.■

Через каждые две точки в пространствах и можно провести только одну прямую. Этот утверждение справедливо и в пространстве .

Теорема 2.18. Пусть и различные точки пространства . Тогда совокупность всех таких точек пространства , для которых является единственной прямой в пространстве , проходящей через точки и .

Доказательство. Из условия теоремы следует:

т.е. прямая, проходящая через точку параллельно вектору и

Рассмотрим произвольную прямую в пространстве , проходящую через точки и , т.е. . Тогда и так как размерность равна 1, то .

Итак, множества и имеют общую точку и их направляющие подпространства совпадают. Из теоремы 2.9 вытекает совпадение множеств и .■

Множество точек называется отрезком в пространстве . Отрезок содержит точки и : точку получаем, при значении , а точку – при значении . Точки и называются концами отрезка . Точка , принадлежащая отрезку и не совпадающая с его концами, называется внутренней точкой этого отрезка. Очевидно, что отрезок является подмножеством прямой, проходящей через точки и .

В пространстве прямая и плоскость либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат плоскости. Обобщением этого утверждения является нижеследующая теорема.

Теорема 2.19. Прямая и аффинное множество в пространстве либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо все точки прямой принадлежат аффинному множеству.

Доказательство. Зададим прямую параметрическим уравнением , а аффинное множество – системой линейных уравнений . Общие точки прямой и аффинного множества являются решениями системы

Эта система уравнений имеет столько решений, сколько их имеет уравнение

или уравнение

. (7)

Возможны два случая: 1) и 2) .

В первом случае уравнение (7) имеет единственное решение, если векторы и пропорциональны, и не имеет решения в противном случае.

Во втором случае уравнение (7) не имеет решений, если . Если же , то уравнение (7) имеет решение при любом значении

Итак, уравнение (7) или не имеет ни одного решения, или имеет одно решение, или имеет решение при любом значении . Отсюда следует утверждение теоремы.■





Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 520 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...