Параметрическое уравнение аффинного множества

□ Теорема 2.15. Дано аффинное множество размерности . Тогда справедливо следующее утверждение. У равнение

(3)

является уравнением аффинного множества тогда и только тогда, когда множество проходит через точку параллельно линейно независимым векторам .

Необходимость. Если (3) – уравнение аффинного множества , то . Отсюда следует, множество проходит через точку параллельно векторам (следствие из теоремы 2.12).

Так как (теорема 2.13), то система векторов линейно независима.

Достаточность. Докажем совпадение аффинного множества и множества решений уравнения (3), т.е. совпадения множеств и . Эти множества имеют общую точку . Докажем совпадение направляющих подпространств этих аффинных множеств.

По условию теоремы линейно независимые векторы принадлежат подпространству и . Теперь из теоремы 1.8 вытекает, что векторы базис подпространства и, значит, . Далее, из теоремы 2.12 получаем, что . Итак, и из теоремы 2.9 следует совпадание множеств и .■

Уравнение

где линейно независимая система векторов, называется параметрическим уравнением аффинного множества размерности . Числа называются параметрами.

◊ Замечание. В параметрическом уравнении аффинного множества размерности линейно независимые векторы образуют базис подпространства .

Действительно, так как , то из теоремы 1.8 следует, что система векторов базис подпространства . ♦

Запишем параметрическое уравнение в координатной форме. Для этого введем координаты точек и векторов:

Приведем алгоритм построения параметрического уравнения аффинного множества .

1.Задайте аффинное множество.

2.Найдите точку , принадлежащую аффинному множеству , и базис направляющего подпространства .

3.Напишите параметрическое уравнение аффинного множества :

○ Примеры

1. Является ли уравнение

параметрическим уравнением аффинного множества

где , , ?

Решение. Из теоремы 2.15 следует, что данное уравнение будет параметрическим уравнением аффинного множества , если , оно проходит через точку параллельно линейно независимым векторам .

Координаты точки являются решением системы уравнений, т.е. . Координаты векторов решения системы уравнений

и, значит, векторы принадлежат подпространству , т.е. множество параллельно векторам . Так как и векторы линейно независимые, то параметрическое уравнение множества .

2. Дано аффинное множество , где

, , .

Напишите параметрическое уравнение аффинного множества , которое содержит множество , имеет размерность три и

а) содержит точку ,

б) вектор параллелен аффинному множеству .