Проведение и обработка результатов экспериментов

Все сведения, необходимые для постановки эксперимента, заносят в специальную таблицу (таблица 4.11).

Таблица 4.11.

Наименование	x1	x2	…	xk
Нулевой уровень xjo	x1o	x2o	…	xko
Интервал варьирования hj	h1	h2	…	hk
Верхний уровень xjв	x1в	x2в	…	xkв
Нижний уровень xjн	x1н	x2н	…	xkн

Заметим, что в теории планирования эксперимента для каждого сочетания факторов проводится не один опыт, а несколько. Такие опыты называют параллельными. На практике обычно достаточно постановки двух параллельных опытов. Необходимость в проведении параллельных опытов возникает в том случае, когда исследователь хочет проверить гипотезу об адекватности модели исследуемого процесса. Эту гипотезу можно проверить, если известны дисперсия воспроизводимости, рассчитываемая по данным параллельных опытов.

После заполнения таблицы 4.11 составляют план эксперимента, в который вносят результаты параллельных опытов (таблица 4.12).

Таблица 4.12.

№	Х1	Х2	…	Хk	Параллельные опыты
Y1	Y2	…	Ym
	+	+	…	+	y11	y12	…	y1m
	+	-	…	+	y21	y22	…	y2m
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	-	-	…	+	yn1	yn2	…	ynm

Так как невозможно полностью исключить действие внешних факторов, параллельные опыты не дают полностью совпадающих результатов. Погрешность опытов можно оценить по формуле

(4.33)

где - дисперсия воспроизводимости i-го опыта.

При анализе опытных данных следует использовать критерии математической статистики. Например, резко выделяющиеся значения можно отбрасывать по t-критерию Стьюдента, проверять однородность дисперсий по F-критерию Фишера, производя попарные сравнения. Если дисперсии однородны, то дисперсия оптимизации

(4.34)

Прежде чем приступить к постановке опытов, необходимо выработать последовательность их проведения. В проведении опытов рекомендуется случайная последовательность их осуществления, то есть необходима рандомизация опытов. Поясним сказанное следующим примером.

Пример 4.19. Пусть требуется поставить опыты по плану, записанному в таблице 4.13.

Решение 4.19. Допустим также, что экспериментатор может поста­вить в первый день четыре опыта и во второй – то­же четыре опыта. Сос­тавить опыты в последова­тель­ности, записанной в таблице 4.13, неце­лесо­образно, так как в первых четырех опытах Х₃ находится на верхнем уровне, а в последних – на нижнем, что может вызвать появ­ле­ние систематической ошибки в оп­ре­делении параметра оптимизации (внешние условия совершенно одинаковыми быть не могут). При рандомизации условий эксперимента вероятность такой опасности уменьшается. В рассматриваемом случае необходимо 8 опытов провести в случайной последовательности, для чего используется таблица случайных чисел. В случайном месте таблицы выписываются числа с первой по восьмую, отбрасывая числа, большие 8 и уже выписанные ранее. Например, можно получить такую последовательность 8, 2, 1, 6, 4, 5, 3, 7. Это означает, что первым следует реализовать опыт № 8, вторым - № 2 и так далее.

Таблица 4.13.

№	Х1	Х2	Х3	Y
	+	+	+	y1
	-	-	+	y2
	+	-	+	y3
	-	+	+	y4
	+	+	-	y5
	-	-	-	y6
	+	-	-	y7
	-	+	-	y8

Если же планируется проведение параллельных опытов, например, по плану таблицы 4.13, проводят два параллельных опыта, то необходимо случайно расположить уже 16 чисел. В этом случае также используют таблицы случайных чисел, выписывая из нее двузначные неповторяющиеся числа от 1 до 16.

После тщательного проведения эксперимента, отбрасывания значений, полученных ошибочно, и проверки однородности дисперсий воспроизводимости, переходят к расчету параметров постулируемой модели и ее анализу. Ранее мы условились в начале эксперимента рассматривать лишь линейные модели на двух уровнях. Если функция отклика или уравнение регрессии имеет вид (4.31), то известными нам методами можно отыскать коэффициенты регрессии b₀, b₁ и b_2, для чего можно провести эксперимент по плану таблицы 4.7.

Для анализируемой модели с помощью методики нахождение регрес­си­он­ных коэффициентов можно получить следующую систему нормальных урав­нений

Подставив в эту систему конкретные значения столбцов из таблицы 4.7 и используя свойства симметричности, нормировки и ортогональности, имеем (n=4):

Справедливо, систему нормальных уравнений можно записать в виде

Откуда

Если теперь рассматривать линейную модель с k факторами, то, рассуждая аналогично, получаем формулу для расчета коэффициентов уравнения регрессии b_j в общем виде:

(4.35)

Таким образом, вычисления сводятся к умножению столбца на столбец соответствующего фактора и алгебраическому сложению полученных значений. Деление результата на число различных опытов в матрице планирования дает искомый коэффициент.

Пример 4.20. Исследуется процесс разделения смеси растворами кислоты. Параметр оптимизации Y – содержание определенного элемента в выходном растворе, %. Факторы: х₁ – концентрация входного раствора, х₂ – концентрация кислоты.

Таблица 4.14. Наименование x1 x2 Нулевой уровень xjo 1,5   Интервал варьирования hj 0,5   Верхний уровень xjв 2,0   Нижний уровень xjн 1,0

Задача исследования – получе­ние такого сочетания факторов, при котором значение выходного пара­метра равно 99-100 %. Априорные исследования дали возможность построить области определения для каждого из факторов, выбрать нулевой уровень и интервалы варьирования: 0,5<x₁<3,3 и 3,3<x₂<9. Исходная информация записана в таблице 4.14.

Таблица 4.15. № Х0 Х1 Х2       + - -       + + -       + - +       + + +

Решение 4.20. Матрица планирования эксперимента и результаты опытов (дисперсии воспроизводимости однородны) записаны в таблице 4.15.

Рассчитаем по формуле (4.35) параметры уравнений связи:

b₀=(95+90+85+82)/4=88;

b₁=(-95+90-85+82)/4=-2,0;

b₂=(-95-90+85+82)/4=-4,5.

И тогда Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂.

После того, как коэффициенты модели вычислены, решают вопрос о возможности описания полученной моделью исследуемого процесса. Модель, пригодную для описания процесса, называют адекватной.

Адекватность модели проверяют по F-критерию Фишера, для чего рассчитывают статистику

где - дисперсия параметра оптимизации или средняя дисперсия воспроизводимости, - дисперсия адекватности.

Дисперсия адекватности рассчитывается по формуле

(4.36)

причем f равно разности между числом различных опытов и числом параметров уравнений регрессии, а Y_iT – значение параметра оптимизации, рассчитанное по уравнению регрессии.

Пример 4.21. Рассчитаем для предыдущего примера 4.20 и проверим гипотезу адекватности, если =0,625, α=0,5, причем параллельность опытов равна 2 (m=2).

Решение 4.21. Так как Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂, то

Y_1Т = 88 - 2,0·(-1) - 4,5·(-1) = 94,5;

Y_2Т = 88 - 2,0·(+1) - 4,5·(-1) = 90,5;

Y_3Т = 88 - 2,0·(-1) - 4,5·(+1) = 85,5;

Y_4Т = 88 - 2,0·(+1) - 4,5·(+1) = 81,5;

f=4-3=1 (так как количество различных опытов n=4, а число оцениваемых параметров b₀, b₁ и b₂ равно трем).

Далее имеем:

= (95 – 94,5)² + (90 – 90,5)² + (85 - 85,5)² + (82 – 81,5)² = 1,

= 0,625,

В таблице F-распределения (см. любой справочник по математической статистике) находим F_k1;k2;α, где α=0,05, k₁=f=1; k₂=n·(m-1)=4. Получаем F_1;4;0,05=7,71. Так как 1,57 < 7,71, то модель можно считать адекватной.

После установления адекватности модели и исследуемого процесса переходят к проверке значимости отдельных коэффициентов.

При использовании полного факторного эксперимента и дробных реплик погрешности в определении каждого из коэффициентов равны (следствие свойств матрицы планирования):

(4.37)

где - средняя дисперсия воспроизводимости,

n - число различных опытов.

Значимость коэффициентов обычно проверяют по t-критерию Стьюдента, для чего рассчитывают статистику

которую затем сравнивают с табличным значением t_k,α, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента с уровнем значимости 1-α и числом степеней свободы, с которым определялась , то есть k=n·(m-1).

Пример 4.22. Проверить значимость коэффициентов уравнения

Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂,

если 1- α=0,95; =0,625; k=4.

Решение 4.22. Так как =0,625, то = 0,625/4, то

Все рассчитанные значения t большие, чем табличные t_k,α, поэтому все коэффициенты уравнения Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂ значимы.

Доверительные интервалы для каждого из коэффициентов уравнения получают по формулам

Пример 4.23. Построить доверительный интервал для каждого коэффициента уравнения Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂, сохранив условия предыдущего примера 4.22.

Решение 4.23. Имеем t_k,α=2,78; α=0,05; k=4; =0,625;

,

,

.

Произведенные расчеты дают возможность экспериментатору принять решение о дальнейших исследованиях.

Перевод модели на язык экспериментатора называют интерпретацией модели. Задача интерпретации весьма сложна, однако общие рекомендации сво­дятся к следующему. Сначала устанавливают, в какой мере каждый из фак­то­ров влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии – количественная мера этого влияния. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак плюс свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, при знаке минус увеличение значения фактора приводит к уменьшению параметра оптимизации. Если значение параметра оптимизации максимизируется, то увеличение значений всех факторов, коэффициенты которых имеют знак плюс, благоприятно, а знак минус – неблагоприятно. Если же значение параметра оптимизации минимизируется, то следует рассматривать соотношения, противоположные вышеуказанным.

Пример 4.24. Интерпретировать результаты задачи, решаемой в примерах 4.20 – 4.23.

Решение 4.24. Выше установлено, что модель Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂ адекватно описывает исследуемый процесс в выбранных интервалах варьирования факторов. Фактор Х₂ (концентрация кислоты) оказывает большое влияние на Y (содержание элемента в выходном растворе, %), чем Х₁ (концентрация входного раствора), так как |4,5|>|2,0|. Коэффициенты в уравнении регрессии у обоих факторов имеют знак минус, поэтому уменьшение значений факторов Х₁ и Х₂ ведет к увеличению параметра оптимизации, а в рассматриваемой задаче параметр Y максимизируется.

Уравнение для натуральных переменных можно получить, используя формулу (4.29). Коэффициенты регрессии изменяются. При этом пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величине и знакам коэффициентов регрессии, так как вектор-столбцы натуральных значений переменных в матрице планирования уже не ортогональны, коэффициенты определяют зависимо друг от друга.

При мер 4.25. В задаче, исследуемой в примерах 4.20 –4.24, перейти к натуральным переменным.

Решение 4.25. Имеем: Y_т=88 - 2,0·Х₁ - 4,5·Х₂;

Х₁ = (х₁ – 1,5) / 0,5;

Х₂ = (х₂ - 7) / 1;

Y_т = 88 - 2,0·(х₁ – 1,5) / 0,5 - 4,5·(х₂ - 7) / 1 =

= 88 – 4 (х₁ - 1,5) – 4,5 (х₂ - 7);

Y_т = 125,5 - 4·х₁ – 4,5·х_2.

После интерпретации получившихся результатов переходят к принятию решений о дальнейших исследованиях. Количество возможных ситуаций пере­числить невозможно. Остановимся лишь на наиболее часто встречающихся.

Если линейная модель адекватна и коэффициенты регрессии значимы, то можно либо закончить исследования при условии близости оптимума, либо их продолжать. В задаче, рассматриваемой в примерах 4.20 – 4.25, наибольшее значение параметра оптимизации 95 % получено в опыте № 1, в этом случае исследование необходимо продолжить, получив сочетания факторов, при которых содержание элемента в выходном растворе 99-100 %. Если линейная модель адекватна, а часть коэффициентов уравнения регрессии незначима, то можно либо изменить интервалы варьирования факторов, либо отсеять незначимые факторы, произвести параллельные опыты, а если область оптимума близка, закончить исследования.

Заметим, что изменение интервалов варьирования приводит к изменению коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов регрессии увеличиваются с увеличением интервалов. Инвариантными к изменению интервалов остаются лишь знаки коэффициентов, однако и они могут измениться на противоположные, если при движении «пере­шаг­нули» экстремум.

Если линейная модель адекватна, а все коэффициенты уравнения регрессии незначимы (кроме b₀) (чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования), необходимо увеличить точность эксперимента и расширить интервалы варьирования. Если область оптимума близка, то можно окончить исследования.

Если линейная модель неадекватна, это означает, что не удается аппрок­си­мировать поверхность отклика плоскостью. В этом случае изменяют интервалы варьирования, выбирают другую точку в качестве нулевого уровня, либо используют нелинейную модель.

Если область оптимума близка, то можно окончить исследование.

Особый случай имеет место при использовании насыщенных планов. При значимости всех коэффициентов ничего нельзя сказать об адекватности или неадекватности модели, так как в этом случае невозможно рассчитать (см. формулу (4.36)) в силу того, что число степеней свободы f=0. В этом случае при близости области оптимума можно закончить исследование, в противном случае - продолжить.

Существует множество различных методов продолжения эксперимента до установления оптимальной области. Наиболее старым является метод Гаусса-Зейделя, идея которого сводится к следующему. Все факторы, кроме одного, фиксируют, то есть продвижение происходит параллельно одной из координатных осей. На этом пути исследователь находит точку наилучшего значения параметра оптимизации, а затем из этой точки двигается параллельно другой оси до тех пор, пока параметр оптимизации не получит запланированного значения. Метод Гаусса-Зейделя требует большого количества опытов.

В исследовательской практике широкое применение получил метод крутого восхождения. Он дает возможность найти оптимальную область за меньшее число опытов по сравнению с методом Гаусса-Зейделя за счет того, что здесь предусмотрено при переходе от одной точки к другой одновременное изменение значений всех факторов. Выбор последующей точки эксперимента определяется направлением наилучшего изменения параметра оптимизации, то есть направлением градиента.

Организация имитационного эксперимента связана с вопросами эффективности и отыскания наиболее подходящих путей реализации плана эксперимента. В связи с этим рассматриваются вопросы влияния входных данных на результаты моделирования и вопросы снижения дисперсии решений.

Первый круг вопросов связан с тем, что имитационная модель носит искусственный характер и, следовательно, она должна иметь некоторый период приработки к условиям функционирования, имеющим место в реальной системе. Решить эти вопросы можно двумя путями:

a) отбросить часть данных, соответствующих начальному периоду работы модели;

b) специально подобрать исходные данные.

Проблема уменьшения дисперсии решений в определенной мере решается при проверке статистических гипотез в рамках планирования эксперимента. При этом, в [45, стр.47] указывается, что эти вопросы могут быть сняты, если используются выборки исходных данных очень большого объема. Выше нами рассматривались алгоритмы искусственного увеличения объема выборок, сохраняющие некоторые, наиболее значимые, вероятностные свойства. Конечно, это требует затрат машинного времени, но при современном уровне вычислительной техники этот момент, по-видимому, не всегда является определяющим. К тому же, сопоставления оценок затрат на искусственное увеличение объемов выборок и уменьшение дисперсий не проводилось.

После окончания планирования эксперимента и подготовки исходных данных проводятся пробные прогоны модели. На этом этапе выявляются ошибки не только в самой модели и программе, но и ошибки планирования. На этих пробных прогонах предполагается оценивание чувствительности получаемых результатов к изменению параметров модели и входных данных. Так как имитация - весьма творческий процесс, то во многих случаях предположения о свойствах объекта и процессах в нем и вне его выдвигаются на основе интуиции исследователя. Отсюда чрезвычайная важность решения вопросов чувствительности результатов. При этом, имитационные модели наиболее хорошо подходят для анализа чувствительности в силу того, что исследователь может досконально проследить весь ход экспериментирования, то есть здесь возможен абсолютный контроль над моделью в отличие от экспериментальных исследований реальных систем.

Затем наступает этап реализации замыслов - экспериментирование с имитационной моделью по составленному плану эксперимента, а при желании - и вне этого плана. Этот этап достаточно хорошо описан в литературе, посвященной организации экспериментальных исследований. При этом весьма важен вопрос документирования результатов. Реализация тщательного и наиболее полного документирования обеспечивает увеличение срока жизни модели и существенно облегчает модернизацию имитационной модели. К тому же хорошая документация является отличным "учебником" для обучения исследователей. Рассматривая вопросы документирования, следует сказать, что для описания имитационной модели и всех, связанных с имитацией вопросов, наиболее подходящими являются технологии документирования, извест­ные из программирования.