Индивидуальное моделирование

В отличие от ранее рассмотренных методик построения имитационных моделей будем понимать под индивидуальным моделированием такие разработки имитационных моделей, которые носят сугубо индивидуальный, уникальный характер. Это имитационные модели, разработанные для исследования конкретных систем.

Рассмотрим пример такой имитационной модели, позволяющий исследовать функционирование простейшего склада. Пусть на нем обеспечивается поступление, хранение и выдача потребителю некоторой детали. Для полноты картины будем считать, что все процессы, описывающие поведение склада, носят вероятностный характер. Ясно, что детерминизация какого-либо процесса приведет лишь к упрощению модели.

Введем следующие обозначения (рис. 4.15):

t - текущее время, t=1,2,…,

S_t - состояние склада в момент времени t,

S_min - минимально допустимое состояние склада,

S_max - максимально допустимое состояние склада,

R_p - сигнальный уровень (R_p≥0),

ε_t - спрос на деталь в момент времени t (ε_t ≥ 0),

Q_i - размер поставки деталей от поставщика (Q_i≥0),

τ_j - время выполнения заказа на поставку (τ>0),

p - вероятность дефицита детали.

При поступлении спроса ε_t в момент времени t состояние склада S_t уменьшается на величину этого спроса. При достижении состоянием склада некоторого сигнального уровня R_p вырабатывается запрос потребителю на поставку партии деталей. Через случайное время τ эта партия размером Q_i поступит на склад и увеличит его состояние. Сигнальный уровень предназначен для управления процессом пополнения содержимого склада. В процессе функционирования склада возможна ситуация дефицита, когда состояние склада S_t может стать отрицательным (в математическом смысле). Это возможно в том случае, если в процессе потребления содержимое склада будет исчерпано, а поставка партии деталей не произошла. Для управления состоянием склада будем использовать параметр р – вероятность дефицита.

Рис. 4.15. Простейший склад.

Ясно, что система должна быть построена и должна работать так, чтобы, по возможности, избежать дефицита. Очевидно, что при нулевой вероятности дефицита р сигнальный уровень R_p должна равняться бесконечности. Таким образом, ясно, что сигнальный уровень обратно пропорционален вероятности дефицита. С практической точки зрения ограничим сигнальный уровень интервалом

S_min ≤ R_p ≤ S_max.

Обратимся к экономической сущности задачи. С этой точки зрения интервал [S_min, S_max] должен быть как можно меньше. Это объясняется тем, что уровни S_min и S_max должны быть как можно меньше, так как они определяют объемы материальных ценностей, не задействованные в процессе производства, то есть характеризуют уровень пролеживающих оборотных средств. Исходя из этого уровни S_min и S_max должны быть устремлены к нулю.

Одновременно, для того, чтобы обеспечить бездефицитное функционирование склада необходимо устремить S_min и S_max к бесконечности.

Таким образом, сигнальный уровень R_p как средняя величина интервала [S_min, S_max] с одной стороны должен быть как можно больше, с другой, - равен нулю.

Сигнальный уровень R_p как параметр, зависящий от случайных явлений (τ_j, Q_i, ε_t), носит также случайный характер. Поэтому для него справедливо понятие доверительного интервала с границами

R_p ± k·σ(S_t),

где коэффициент k определяет размер доверительного интервала.

Исходя из того, что для интервала [S_min, S_max] известно одно значение - S_min=0, можно заключить, что

R_p = k·σ(S_t). (4.27)

Для определения среднеквадратического отклонения состояния склада S_t воспользуемся очевидной формулой

где n_Q – количество поставок за время от 0 до t,

n_ε – количество спросов за время от 0 до t.

В этом выражении все, входящие в него величины, являются случайными и каждое слагаемое есть сумма случайного числа случайных величин.

Обращаясь к [28, стр. 300, 315], видим, что для суммы (Y) случайного числа (n_x) случайных величин (X_j)

математическое ожидание определяется выражением

M[Y] = M[n_x] · M[X],

а среднеквадратическое отклонение

Подставив последнее выражение в (4.27)

.

А так как мы выяснили, что сигнальный уровень R_p и вероятность дефицита р обратно пропорциональны, то можно полагать

Таким образом,

(4.28)

Отметим, что приведенные выше рассуждения являются единичным и совершенно не характерным способом определения сигнального уровня и параметров работы склада. Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в специальной литературе, посвященной системам управления запасами (ресурсами, материально-техническим снабжением, оперативного планирования и управления производства).

Для полноты описания исследуемой системы следует провести сбор и обработку статистической информации, описывающей поведение случайных процессов спроса (ε_t) и поставок (Q_i и τ_j) в реальной системе. Выявленные вероятностные свойства необходимы для воспроизведения случайных чисел ε_t, Q_i и τ_j в процессе имитационного эксперимента. С точки зрения системных исследований рассматриваемого объекта сбор реальных данных может и не производиться. Мы можем воспользоваться описанными выше методами воспроизведения случайных чисел с задаваемыми нами, необходимыми для исследования вероятностными свойствами.

Алгоритм, который может быть положен в основу программы, имитирующей функционирование простейшего склада, имеет следующий вид.

Шаг 1	Изменяем текущее время t=t+1.
Шаг 2	Генерируется спрос потребителя – случайное число εt с заданными вероятностными свойства спроса и накапливаются достаточные ста­тистики для вычисления сигнального уровня Rp по формуле (4.28).
Шаг 3	Изменяется текущее состояние склада St=St-1-εt.
Шаг 4	Проверяется, новой состояние склада St больше вычисленного ранее сигнального уровня Rp. Если это условие выполняется, то это означает, что никаких дополнительных действий производить нет необходимости и можно перейти к шагу 1. В противном случае – к шагу 5.
Шаг 5	Проверяется, производился ли заказ новой партии деталей потребителю. Показателем этого является состояние времени поставки τ. (При этом, мы условимся, что при «пересечении» сигнального уровня генерируется случайное целое число τ с заданными исследователей вероятностными свойствами, которое убывает с каждым тактом времени t). Если τ=0, то состояние склада не превосходит сигнальный уровень. Необходимо заказать новую поставку. Для этого генерируется целое случайное число τ, оцениваются числовые характеристики для вычисления сигнального уровня Rp по формуле (4.28) с заданием вероятности дефицита р как исходного данного, отыскивается Rp и производится переход к следующему шагу – шагу 6. В противном случае (τ>0), текущее значение τ уменьшается на единицу τ=τ-1 и, если τ=0, то генерируется новая поставка Qj (случайное число с заданными исследователем вероятностными свойствами), накапливаются достаточные статистики для вычис­ления сигнального уровня Rp по формуле (4.28) и изменяется текущее состояние склада St=St+Qj.
Шаг 6	Проверяется условие возникновения дефицита (St<0). Если дефицит не возник, то переходим к начальному шагу 1. В противном случае устанавливается εt=-St, St=0 и осуществляется переход к шагу 1.

Итак, составлен алгоритм для написания имитирующей работу простейшего склада программы. Исследователь получил возможность гибкого изучения свойств объекта, изменяя вероятностные свойства генерируемых случайных чисел как перед запуском программы, так и в ходе эксперимента, накапливать и обрабатывать результаты моделирования. Имеется также возможность изучения различных способов определения сигнального уровня посредством замены расчетной формулы (4.28) на необходимую.

Перерасчет сигнального уровня в процессе эксперимента обеспечивает проявление свойства самообучения исследуемой системе, так как накопление статистических данных о параметрах спроса и поставок позволяет постоянно отслеживать все изменения во входных данных и производить саморегулирование системы.

Обратим внимание на монографию [24], в которой рассмотрена еще одна индивидуально созданная имитационная модель – имитационная модель технологического процесса обогащения полезных ископаемых. Там же читатель найдет конкретные примеры составления описания объекта моделирования, решения дополнительных (побочных для имитации) задач, возникающих при пост­роении модели и приводящих к весьма важным и полезным практическим результатам и другую полезную информацию.

Оценка адекватности имитационной модели реальной системе является чрезвычайно важным этапом. Обусловлено это тем впечатлением реальности, которым обладают описываемые модели, и проверка, выполненная без должной тщательности, может привести к тяжелым последствиям.

Проверка соответствия модели и объекта заключается в сравнении интересных для исследователя свойств оригинала и модели.

Для этого необходимо исследовать функциональную или проектируемую систему, что естественно, не всегда возможно. Таким образом, не всегда возможна прямая экспериментальная проверка адекватности свойств модели и объекта.

Вместе с тем, адекватность не следует непосредственно из процесса построения модели. Упрощенная модель не может быть подобна объекту в смысле, обычном для теории подобия [45]: требование пропорциональности сходных параметров и процессов в модели и объекте заведомо не соблюдается из-за различия в числе параметров.

Тем не менее, в литературе [45, стр. 44-46] рассматриваются различные способы оценки адекватности имитационной модели реальной системы. В частности, предлагается использовать проверки на качество результатов при задании предельных значений исходных данных, на верность исходных предположений и на правильность преобразования информации в модели.

Планирование эксперимента.

Цель любого экспериментального исследования, включая имитацию, заключается в стремлении получить дополнительные знания об изучаемом объекте. В экспериментальном исследовании можно выделить два типа задач: определение сочетания параметров, которое оптимизирует выходные параметры и/или объяснение соотношения между выходными и входными параметрами. Для обоих типов задач разработано и доступно для использования множество планов постановки экспериментов [20,45].

С точки зрения полного использования имеющихся знаний об ис­сле­дуемом и имитируемом объекте наиболее подходящим способом является так называемое планирование эксперимента. В этом разделе матема­ти­чес­кой статистики рассматривается технология разработки планов проведения экспериментальных исследований, а точнее - планов подбора исходных данных с целью получения такого их соотношения, которое доставляет экстремум некоторой целевой функции.

Теоретические и прикладные разработки в области планирования эксперимента обеспечивают возможность получения планов экспериментов, которые обусловливают наиболее полное и эффективное, в том числе и в смысле числа экспериментов, извлечение информации при проведении опытов. В связи с достаточно высокой стоимостью машинного времени и трудностями в сборе и обработке информации об исследуемой системе сокращение объемов экспериментальной работы приносит положительные результаты.

Планирование эксперимента – относительно новый раздел математической статистики.

В дисперсионном анализе, который будет рассматриваться нами ниже, влияние факторов оценивается соотношениями дисперсий. Так, например, при исследовании влияния двух факторов количество опытов полного эксперимента составляет r·v, где r – число уровней первого фактора, v – число уровней второго фактора. (Уровень – количество возможных состояний фактора). При r=v=2 число опытов равно 4. Если число уровней каждого из факторов одинаково, то количество опытов, которые необходимо провести по схемам полного эксперимента (полным перебором всех сочетаний уровней) при исследовании влияния k факторов, можно вычислить по формуле N=V^k, где V – число уровней каждого из факторов. Например, при V=4 и k=10 получим N=1048576.

Вследствие непомерно большого числа опытов в подобных задачах использовать многие методы статистической обработки результатов стано­вится весьма затруднительно. Такого рода задачи явились одной из основ­ных причин возникновения теории планирования эксперимента, которая позволяет ответить на вопрос: сколько и какие опыты следует включить в эксперимент. Родоначальником этого направления является Р.А. Фишер.

Планирование эксперимента начинают с выбора объекта исследования, который изучается с определенной целью (ради отыскания оптимальных условий протекания физических, металлургических и других процессов). Цель исследования называют целевой функцией, параметром оптимизации или критерием оптимизации. Способы воздействия на объект исследования называют факторами.

Для того, чтобы прогнозировать значение целевой функции, необходимо параметр оптимизации связать с факторами некоторой функциональной зависимостью. Эта зависимость, имеющая вид Y=f(x₁,x₂,…,x_n), называют функцией, поверхностью отклика или моделью объекта исследования.

Компенсацией за меньшее количество опытов по сравнению с полным факторным экспериментом служат ограничения, принимаемые исследователем до опыта. В качестве ограничений принимают существование единственного оптимума и представление функции отклика в виде полинома заданного порядка, параметры которого оцениваются по опытным данным с помощью регрессионного анализа. Если же в действительности модель не удовлетворяет наложенным ограничениям, то оптимум функции отклика можно и не найти.

Рассмотрим теперь, как принятые допущения способствуют уменьшению количества опытов. Пусть, например, известно значение параметра оптимизации в нескольких соседних точках. В силу непрерывности функции отклика можно прогнозировать значения параметра оптимизации в окрестностях соседних точек. Следовательно, можно обнаружить точки, для которых ожидается увеличение (или уменьшение, если отыскивается минимум) параметра оптимизации. В силу единственности оптимума следующий эксперимент целесообразно поставить в точках, в которых обнаружено эффективное изменение параметра оптимизации, пренебрегая всеми остальными. В результате такого пошагового продвижения может быть достигнут оптимум параметра оптимизации.

Направление наибольшей скорости возрастания функции отклика называют направлением градиента. Если нет особых указаний о виде целевой функции, то в начале эксперимента всегда используют линейную модель, так как она определяется минимально возможным числом коэффициентов при данном числе факторов. Двигаясь по градиенту, строят линейные модели до тех пор, пока они дают эффективное изменение параметра оптимизации. Если улучшение параметра оптимизации с помощью линейной модели больше не наблюдается, то обнаружена область, близкая к оптимуму. В этом случае либо исследование прекращают, либо исследуют полиномы более высоких степеней.