Дробный факторный эксперимент

Пусть, например, для описания объекта исследования требуется рассчитать коэффициенты b₀, b₁, b₂, b₃ уравнения

Y = b₀·X₀ + b₁·X₁ + b₂·X₂ + b₃·X₃. (4.32)

Для определения числовых значений четырех параметров следует иметь четыре уравнения, неизвестными в которых являются параметры рассматриваемой функции, поэтому как минимум надо провести четыре опыта.

Уравнения можно записать так

1-й опыт y₁=b₀ + b₁·x₁₁ + b₂·x₂₁ + b₃·x₃₁,

2-й опыт y₂=b₀ + b₁·x₁₂ + b₂·x₂₂ + b₃·x₃₂,

3-й опыт y₃=b₀ + b₁·x₁₃ + b₂·x₂₃ + b₃·x₃₃,

4-й опыт y₄=b₀ + b₁·x₁₄ + b₂·x₂₄ + b₃·x₃₄,

где y_i - значение параметра оптимизации в i-м опыте,

х_ji – значение j-го фактора в i-м опыте, j=1,2,3, i=1,2,3,4.

Опыты необходимо проводить по матрице планирования, отвечающей свойствам, рассматриваемым в предыдущем пункте. Из 1-й строки таблицы 4.7 видно, что существует матрица эксперимента, отвечающая этим свойства и имеющая четыре опыта. Эта матрица двухфакторного эксперимента записана в таблице 4.7. Если предположить, что эффекты взаимодействия между факторами отсутствуют, то вектор-столбец Х₁Х₂ можно использовать для нового фактора Х₃. Матрица планирования для этого случая записана в таблице 4.9.

Если анализируется линейная модель с четырьмя факторами

	Таблица 4.9.
№	Х0	Х1	Х2	Х3 Х1Х2	Y
	+	+	+	+	y1
	+	-	+	-	y2
	+	-	-	+	y3
	+	+	-	-	y4

Y = b₀·X₀ + b₁·X₁ + b₂·X₂ + b₃·X₃ + b₄·X₄,

то минимальное число опытов, определяемое количеством оцениваемых параметров b_j, j=1,2,3,4,5, равно пяти.

В столбце 3 таблицы 4.8 число 5 отсутствует, однако имеется число 8. Матрицу планирования полного факторного эксперимента с восьмью опытами можно использовать для расчета модели с четырьмя факторами. В этом случае надо проводить уже не 16 опытов, а восемь. Следовательно, чтобы сократить число опытов, необходимо новому фактору присвоить вектор-столбец, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Рассмотрим матрицу полного факторного эксперимента для трех факторов или 2³ (таблица 4.10).

Проанализируем структуру этой таблицы. Первые три столбца матрицы таблицы 4.10 совпадают со столбцами матрицы таблицы 4.5. (матрицы планирования для трех факторов). Напомним, что матрица таблицы 4.5 была получена согласно методу построения матриц планирования. Элементы остальных столбцов найдены соответствующим перемножением первых трех столбцов. Заметим, что при образовании матрицы планирования (таблица 4.5) план 2² повторялся дважды, поэтому его называют полурепликой полного факторного эксперимента 2³ и обозначают 2^3-1 (4 опыта). Полуреплика содержит половину опытов полного факторного эксперимента.

Таблица 4.10.

№	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y
	-	-	+	+	-	-	+	y1
	+	-	+	-	+	-	+	y2
	-	+	+	-	-	+	+	y3
	+	+	+	+	+	+	+	y4
	-	-	-	+	+	+	-	y5
	+	-	-	-	-	+	-	y6
	-	+	-	-	+	-	-	y7
	+	+	-	+	-	-	-	y8

Максимальное количество факторов, которое можно исследовать с помощью матрицы, записанной в таблице 4.10, равно семи: Х₁Х₂=Х₄, Х₁Х₃=Х₅, Х₂Х₃=Х₆, Х₁Х₂Х₃=Х₇. В этом случае четыре фактора (Х₁, Х₂, Х₃, Х₄) приравнены к эффектам взаимодействия. Если таблицу 4.10 используют для анализа семи факторов, то ее обозначают 2^7-4 (8 опытов) и называют 1/16-репликой полного факторного эксперимента 2⁷. План с предельным числом факторов данной матрицы планирования эксперимента и линейной модели называют насыщенным.

На практике редко пользуются даже полурепликой 2^5-1 (16 опытов), не говоря уже о 2^6-1 (32 опыта), 2^7-1 (64 опыта) и так далее. Поэтому с ростом числа факторов возрастает и дробность применяемых реплик. Вопрос о том, какими эффектами взаимодействия можно пренебречь и к какому это приведет риску, должен быть решен до постановки эксперимента по дробным репликам.