Эта реализация порождает векторный случайный процесс

U(t)={u₁(t),u₂(t),...,u_n(t)], n>1.

Величина n - параметр упорядочения. Каждый компонент вектора U опpеделяется как некоторая интегральная характеристика от s значений исходного процесса u_j(t)=φ[x(l)]. Здесь φ - некоторая характеристика, объединяющая s значений случайного процесса в качестве аргумента которой указан первый из s элементов объединяемой группы.

Один из компонентов вектора U для каждого целого t>0 превращается в группу элементов y(t),y(t+1),...,y(t+s-1) реализации генерируемого случайного процесса y(l)=x(l), l=t,t+1,..., t+s-1; r=q, q+1,...,q+s-1, где индекс q определяется упорядочивающим оператором

В начале каждого цикла упорядочения принимается

u_j(t+1)=u_j(t), j¹ q,

u_q(t+1)=j[x(s×(t+n))].

Алгоpитм дополняется начальными условиями

y(i-1)=x(i), i=1,2,…,s;

U(1)={u₁(1),u₂(1),...,u_n(1)}=

={j[x(s+1)], j[x(2(s+1))], …, j[x(n(s+1))]}.

Pезультатом работы такого алгоритма будет случайный процесс {Y(t), tÎT}, t={0,1,...}, состоящий из гpупп, каждая из которых имеет длину s. Пpи этом преобразовании вводится новая корреляция между элементами разных групп, а внутри группы она остается прежней [32].

В [32] приводится обоснование того, что генерируемый алгоритм упорядочения групп процесс является периодически коррелированным с периодом s [16]. В [16] доказана теорема, устанавливающая взаимосвязь между периодическим случайным процессом с периодом s и s-меpным случайным процессом. Пpи этом, условия, накладываемые теоремой, при использовании такого метода генерирования удовлетворяются.

Таким образом, представленный выше алгоритм позволяет генерировать многомерные случайные процессы (и, при незначительной его модернизации [30,32], случайные поля), что существенно расширяет возможности имитационного моделирования.

Анализ результатов исследований многомерных версий алгоритмов упорядочения показал, что независимо от перестановки реализаций многомерного случайного процесса или случайного поля динамические свойства внутри реализации не изменяются, что подтверждает справедливость предположения о сохранении корреляционных свойств внутри реализации многомерного случайного процесса или случайного поля, а корреляционные свойства различных компонентов многомерного случайного процесса или случайного поля зависят от расположения компонента в реализации и определяется видом упорядочивающего оператора и параметрами упорядочивающей процедуры.

Следует отметить, что все описанные выше и некоторые другие пеpеста­новочные процедуры, а также их развития [27,28] имеют и техническую реализацию в виде специализированных устройств [1-4], либо встроены в соответствующие пакеты прикладных программ [21,30].

Важным вопросом разработки и применения алгоритмов упорядочения является вопрос о законе распределения вероятностей воспроизводимого случайного процесса и ряде других его вероятностных свойств.

Одной из таких попыток исследования следует назвать вероятностный анализ алгоритма упорядочения, предназначенного для генерирования марковских случайных процессов [14,17,26,41]. Пpедставленные в [34] результаты позволяют сказать, что пеpестановочные процедуры данного типа имеют весьма широкие и до сих пор ничем не ограниченные области применения.

В заключение отметим, что принцип перестановки значений может быть применен и для воспроизведения псевдослучайных процессов. Например, в условиях ограниченности исходной реализации, предназначенной для использования в имитационном моделировании, вызванной трудностями получения информации или другими причинами, возникает задача воспроизведения новой реализации, обладающей, помимо большего объема, еще и теми же (или близкими к ним) вероятностными свойствами. Пpедлагаемые в [38] методы искусственного увеличения длины реализации связаны с явным искажением вероятностных свойств. В [3,4,28,34] предлагается ряд новых пеpестановочных алгоритмов, решающих поставленную задачу.

Pассмотpенные в данном пункте две группы PR-методов (аналитические и пеpестановочные) обеспечивают принципиальную возможность решения новых задач, недоступных ранее. Например, многомерные пеpестановочные алгоритмы позволяют воспроизводить случайные векторы не только с заданными законами распределения вероятностей, но и с требуемыми корреляционными свойствами по осям координат (внутри вектора и между векторами различающуюся).

Пpи этом, аналитические методы, претендуя на высокую точность, весьма сложны в практическом использовании. Пеpестановочные же методы менее точны в воспроизведении вероятностных свойств, но существенно более технологичны в применении. К тому же, они обеспечивают довольно высокую точность генерирования, достаточную для решения инженерных задач. И, конечно, весьма важным является их большее быстродействие, в сравнении с аналитическими PR-методами.

4.2.3. Методика построения имитационных моделей.

Рассматривая вопросы методологии построения имитационных моделей, следует сказать, что не существует какой-либо технологии типа набора команд, которая бы позволяла пользователю строить имитационные модели систем различных классов. (Это, по-видимому, характерно для любых видов моделирования). Известные методологии (агрегативный подход Н.П. Бусленко [9,10], динамическое моделирование [42], специальные языки моделирования, например, [46]), не позволяют строить модели весьма сложных систем. Но они весьма полезны при построении имитационных моделей подсистем и элементов этих систем.

После построения модели решается вопрос об использовании компьютера. В подавляющем большинстве случаев, когда речь идет о построении имитационной модели, исследователь принимает решение о реализации модели на компьютере. В [45] достаточно подробно рассмотрены правила и даны рекомендации по выбору типа вычислительной машины и языка программирования для реализации модели. К сожалению, часто этот выбор определяется типом имеющегося компьютера и теми языками, которыми владеет исследователь.

4.2.3.1. Агрегативный подход [9,10].

Существующие математические схемы описания сложных систем обладают одним существенным недостатком. Он состоит в том, что единым образом можно описать лишь те системы, элементы которых описываются одной и той же математической схемой.

Наиболее существенным с теоретической и практической точки зрения является случай, когда элементы системы описываются разнородными математическими схемами. Из-за отсутствия единого формального описания элементов трудно рассчитывать на создание общих методов исследования систем в целом, а также единого подхода к классификации сложных систем, изучению общих свойств важнейших классов систем их анализу и синтезу. Даже такой, казалось бы, универсальный метод, как статистическое моделирование, для достаточно сложных систем с разнородными параметрами описания элементов оказывается весьма громоздким.

Таким образом, введение унифицированной абстрактной схемы, позволяющей единообразно описывать все элементы системы, имеет существенное значение.

Унифицированной абстрактной схеме придается достаточно общий вид, с тем, чтобы она охватывала разнообразные темы реальных систем. Для этого унифицированная схема должна иметь динамический характер, быть способной описывать обмен сигналами с внешней средой и учи­ты­вать действия случайных факторов.

Исходя из требований такого рода, в качестве унифицированной схемы можно было бы взять стохастическую систему (задача стохастического управления). Однако столь общая абстрактная схема имеет свои отрицательные стороны. Чрезмерные обобщения неизбежно приводят к обеднению содержания теории - для систем столь общего вида характерны лишь тривиальные общие свойства.

Поэтому в [9,10] была предложена унифицированная схема, названная агрегатом. Она образована из стохастической системы общего вида конкретизацией операторов переходов и выходов.

Агрегат оказывается удобной схемой для описания широкого класса реальных объектов. Кроме того, представление реальных систем в виде агрегатов позволяет изучить некоторые их общие свойства, связанные со структурой и функционированием. Реализация на ЭВМ алгоритмических (по сути, имитационных) моделей агрегата дает возможность решать многие задачи количественного и качественного анализа сложных систем.

Понятие агрегата.

Пусть T - фиксированное подмножество рассматриваемых моментов времени; X, Г, Y, Z - множества любой природы. Элементы указанных множеств будем называть так:

tÎT - моментом времени,

xÎX - входным сигналом,

gÎГ - управляющим сигналом,

yÎY - выходным сигналом,

zÎZ - состоянием.

Состояния, входные, выходные и управляющие сигналы рассматриваются как функции времени; их значения в момент t будут обозначаться z(t), x(t), y(t) соответственно.

Под агрегатом понимается объект, определяемый множествами T,X,Г,Y,Z и операторами H и G. Операторы H и G называют операторами переходов и выходов. Они являются, вообще говоря, случайными и предназначены для реализации функций z(t) и y(t). Структура операторов переходов и выходов выделяет агрегаты среди прочих систем.

Дополнительно вводится пространство параметров В. Пусть элемент этого пространства В имеет вид β=(β₁, …, β_n)ÎB. Значение β фиксировано в рамках каждой конкретной задачи. Это конструктивный параметр. В этой связи управляющий сигнал y(t) является параметром управления.

Рассмотрим сначала реализацию оператора выходов G. Представим его в виде двух операторов G' и G". Оператор G' вырабатывает очередные моменты выдачи непустых выходных сигналов, а оператор G" - содержание сигналов. Операторы эти строятся следующим образом.

В пространстве состояний агрегата Z для каждого βÎB и gÎГ определим некоторое множество Z^Y(g₀,b)ÌZ, вид которого зависит от (g, β). То есть множество Z^Y(g₀,b) в общем случае изменяется при изменении параметров агрегата, когда осуществляется переход к условиям другой задачи. В рамках данной задачи - в моменты поступления новых управляющих сигналов g(t). В интервалах времени между моментами поступления управляющих сигналов множество Z^Y(g₀,b) не изменяется и остается таким, каким оно оказалось в момент поступления последнего управляющего сигнала.

Множество Z^Y(g₀,b) определяет моменты выдачи выходных сигналов.

Оператор G" определяет содержание сигналов y=G"{t, z(t), g(t), β}.

В общем случае оператор G" является случайным оператором. Это значит, что данным t, z(t), g(t) и β ставится в соответствие не один определенный y, а некоторое множество значений управляющего параметра y с соответствующим распределением вероятностей, задаваемых оператором G".

Обратимся теперь к оператору переходов H.

Наряду с состоянием агрегата z(t) рассматриваются также состояние z(t+0), в которое агрегат переходит за “малый” интервал времени. Вид оператора H зависит от того, поступают или не поступают в течение рассматриваемого интервала времени входные и управляющие сигналы. Поэтому его представляют в виде совокупности случайных операторов.

Пусть t'_n - момент поступления в агрегат входного сигнала x'_n, тогда

z(t'_n+0)=V'{t'_n, z(t'_n), g(t'_n), x'_n, b}, (4.18)

где под g(t'_n) понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент времени t< t'_n.

Если t"_n - момент поступления в агрегат управляющего сигнала g''_n, то

z(t"_n+0)=V"{t"_n, z(t"_n), g''_n, b}, (4.19)

Далее, если t'_n - момент одновременного поступления в агрегат и входного x_n, и управляющего g_n сигналов, то

z(t_n+0)=V'{t_n, V"(t_n, z(t_n), g_n, x'_n, b), g_n, x_n, b}. (4.20)

В этом выражении под V"{·} понимается не оператор, а результат его действия на аргументы t_n, z(t_n), g_n, b, являющийся элементом множества Z. Другими словами, вместо (4.20) можно записать

z(t_n+0)=V'{t_n, z'(t_n+0), g_n, x_n, b},

где z'(t_n+0) определяется соотношением (4.19) для t_n, z(t_n), g_n, b.

Наконец, если полуинтервал (t_n,t_n+1] не содержит моментов поступления сигналов, за исключением t_n+1, а t_n - момент поступления входного или управляющего сигнала, то для tÎ(t_n, t_n+1]

z(t)=U{t, t_n, z(t_n+0), g(t_n), b}.

Здесь, подобно (4.18), под g(t_n) понимается последний управляющий сигнал, поступивший в момент t£t_n.

Перейдем теперь к описанию типичного процесса функционирования агрегата в терминах рассматриваемой выше реализации операторов H и G.

Пусть в некоторый начальный момент времени t₀ агрегат находится в состоянии z₀ и пусть в моменты t'₁ и t'₂ поступают входные сигналы x'₁и x'₂, а в момент t"₁ - управляющий сигнал g"₁ и для определенности t'₁ < t"₁ < t'₂.

Рассмотрим сначала полуинтервал (t₀, t'_n]. Состояния агрегата z(t) изменяется с течением времени по закону

z(t) = U{t, t₀, z(t₀), g(t₀), b}. (4.21)

Предположим, что в момент t^*₁ такой, что t₀ < t^*₁ < t'₁, состояние z(t^*₁) достигает множества Z^Y(g₀,b). Тогда в момент t^*₁ выдается выходной сигнал

y⁽¹⁾=G"{t^*₁, z(t^*₁), g₀, b}.

Если состояние z(t) опять достигает множества Z^Y(g₀,b) в момент t^*₂ такой, что t^*₁ < t^*₂ < t'₁, то в момент t^*₂ выдается выходной сигнал

y⁽²⁾=G"{t^*₂, z(t^*₂), g₀, b}. (4.22)

и т.д. Здесь z(t^*₁) и z(t^*₂) определяется из (4.21).

В момент t'₁ в агрегат поступает входной сигнал x'₁. Состояние агрегата

z(t'₁+0) = V'{t'₁, z(t'₁), g₀, x'₁, b}.

Здесь также z(t'₁) определяется из (4.21).

В полуинтервале (t'₁, t"₁] функционирование агрегата можно описать по аналогии с полуинтервалом (t₀, t'₁]. Состояние z(t) определяется как

z(t) = U{t, t'₁, z(t'₁+0), g₀, b}. (4.23)

Если в моменты t^*_k, такие, что t'₁ < t^*_k < t"₁, состояния z(t^*_k) достигают множества Z^Y(g₀,b), в каждый из моментов t^*_k выдается выходной сигнал

y^(k)=G"{t^*_k, z(t^*_k), g₀, b},

где z(t^*_k) определяется из (4.23).

В момент t"₁ в агрегат поступает управляющий сигнал g"₁ и тогда состояния агрегата описывается оператором V'':

z(t"₁+0)=V"{t"₁, z(t"₁), g"₁, b}. (4.24)

Здесь z(t"₁) также определяется из (4.23).

Далее, в полуинтервале (t"₁, t'₂] состояние агрегата изменяется по закону

z(t) = U{t, t"₁, z(t"₁+0), g"₁, b}. (4.25)

Если в моменты t^*_k+r, такие, что t"₁ < t^*_k+r < t'₂, r³1, состояние z(t^*_k+r) достигает множества Z^Y(g''₁,b), в каждый из моментов t^*_k+r выдается выходной сигнал

y^(k+r)=G"{t^*_k+r, z(t^*_k+r), g"₁, b}.