Асимптотические свойства непараметрической модели коллективного типа

Для удобства последующего анализа предположим, что - скаляр и закон распределения известен, а опорные функции - линейные. Тогда непараметрическая модель коллективного типа принимает вид

(3.28)

Запишем оценку непараметрической модели коллективного типа (3.28) с учётом выражения (3.27) в виде статистики

,

которая позволяет упростить методику исследования асимптотических свойств .

Теорема 3.2. Пусть: 1) и , в области определения ограничены и непрерывны со всеми своими производными до второго порядка включительно; 2) ядерные функции являются положительными, нормированными и симметричными, а также ; 3) последовательность при , а . Тогда непараметрическая модель коллективного типа обладает свойствами асимптотической несмещённости и состоятельности.

Асимптотические выражения смещения оценки (3.28) и её среднеквадратического отклонения после стандартных аналитических преобразований принимают вид

, (3.29)

, (3.30)

где , - нелинейные функционалы от и их производных; - дисперсия опорных точек; .

Из асимптотических выражений (3.29), (3.30) при и следует асимптотическая несмещённость и сходимость в среднеквадратическом непараметрической модели коллективного типа .

Установлено, что асимптотические свойства непараметрических моделей коллективного типа «слабо» зависят от вида упрощённых аппроксимаций и объёма выборки в задаче их идентификации. Эффективность рассматриваемых моделей в значительной степени определяется законом распределения системы опорных точек и их количеством.

Данные выводы подтверждает выражение минимального среднеквадратического отклонения при оптимальном значении параметра размытости

(3.31)