Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины

11.31. Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной , заключенной в интервале от тыс. до млн. грн. Требуется найти:

а) плотность распределения вероятностей случайной величины ;

б) ее функцию распределения вероятностей;

в) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую, чем тыс. грн.;

г) вероятность того, что цена картины будет выше млн. гр.;

д) графики функций и .

11.32. Цена деления шкалы измерительного прибора равна . Показания округляются до ближайшего целого числа. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления а) меньше ; б) больше .

11.33. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения мин. Найти вероятность того, что пассажир, пришедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее мин.

11.34. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на с.

11.35. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины , распределенной равномерно в интервале .

11.36. Написать плотность и функцию распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, если параметр . Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина попадет в интервал

11.37. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного плотностью вероятности .

11.38. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение . Найти вероятность того, что за время длительностью ч: а) элемент откажет; б) элемент не откажет.

11.39. Служащие рекламного агентства утверждают, что среднее время, в течение которого телезрители помнят содержание рекламного ролика, составляет четыре дня и подчиняется экспоненциальному закону распределения. а) Какова доля зрителей, способных вспомнить рекламу, спустя семь дней? б) Найти долю зрителей способных вспомнить рекламную информацию в первые три дня. в) Написать плотность и функцию распределения случайной величины.

11.40. Задана интенсивность простейшего потока . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины — времени между появлениями двух последовательных событий потока.

11.41. Испытываются два независимо работающих элемента. Длительность времени безотказной работы первого элемента имеет показательное распределение , второго . Найти вероятность того, что за время длительностью ч: а) оба элемента откажут; б) оба элемента не откажут; в) только один элемент откажет; г) хотя бы один элемент откажет.

11.42. Написать плотность вероятности нормально распределенной случайнойвеличины , зная, что .

11.43. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны и . Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

11.44. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны и . Найти вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале .

11.45. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики относительное распределение по размерам является нормальным с параметрами и Определить процент спроса на -й размер при условии разброса значений этой величины в интервале .

11.46. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали , которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным мм. Фактически длина изготовленных деталей не менее и не более мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше мм; б) меньше мм.

11.47. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине мм.

11.48. Автомат изготавливает шарики. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше мм. Считая, что случайная величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько в среднем годных шариков среди ста изготовленных.

11.49. Случайная величина подчинена нормальному закону распределения с математическим ожиданием и дисперсией . Определить, которое из двух событий и имеет большую вероятность.

11.50. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет случайная величина в результате испытания.

11.51. Случайная величина распределена нормально со средним квадратическим отклонением мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет в результате испытания.

11.52. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется их диаметр . Считая, что — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием мм и средним квадратическим отклонением мм, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью будут заключены диаметры изготовленных шариков.

11.53. Срок службы кассового аппарата является случайной величиной , подчиненной нормальному закону распределения вероятностей с гарантией 15 лет и дисперсией равной девяти годам.

1) Составить функцию плотности распределения вероятностей, построить график, указав максимальное её значение.

2) Определить надежность аппарата за промежуток времени от до лет.

3) Указать временные пределы надежности аппарата, чтобы вероятность невыхода за эти пределы составила: а) 0,88; б) 0,9973.

11.54. Текущая цена акции может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с математическим ожиданием ден. ед. и средним квадратическим отклонением ден. ед. 1) Найти вероятность того, что цена акции а) не выше ден. ед.; б) не ниже ден. ед.; в) от ден. ед.; до ден. ед. 2) С помощью правила трех сигм найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

11.55. Цена некоторой ценной бумаги нормально распределена. В течение последнего года рабочих дней она была ниже ден. ед., — выше ден. ед. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки ценной бумаги ее цена будет заключена в пределах от до ден. ед.; в) с надежностью определить максимальное отклонение цены ценной бумаги от среднего (прогнозного) значения (по абсолютной величине).