Формула Грина. Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом по координатам

Теорема Грина. Пусть – конечная область, ограниченная замкнутой линией и расположенная в плоскости Пусть функции , их частные производные и заданы и непрерывны всюду в области и на кривой . Тогда справедлива следующая формула (называемая формулой Грина):

(15)

Здесь в правой части криволинейный интеграл по координатам берётся по кривой на которой за положительное принято направление обхода против часовой стрелки.

Доказательство. Пусть область расположена между прямыми где – соответственно абсциссы точек границы области (см. рис. 157), а участки кривой заданы соответственно уравнениями Согласно формуле (10) параграфа 7 главы 13 вычисления двойного интеграла имеем

(16)

Здесь в правой части внутренний интеграл берётся по при т. е. подинтегральная функция зависит лишь от Но она является производной по от функции при Следовательно, есть первообразная для Далее, по формуле Ньютона – Лейбница

Эту разность подставим в правую часть формулы (16) вместо внутреннего интеграла. Тогда

(17)

С другой стороны, запишем криволинейный интеграл по координате от функции по кривой Так как эта кривая состоит из двух частей, то

(18)

В правой части формулы (18) во втором интеграле на кривой изменим направление обхода, тогда знак этого интеграла изменится на обратный. Итак,

(19)

Каждое из слагаемых правой части (19) выразим через определённый интеграл по формуле (12), получим

(20)

Правые части формул (17) и (20) отличаются лишь знаком, поэтому и левые их части отличаются знаком:

(21)

Использовав формулу (13) и записав уравнения частей границы в виде получим

(22)

Сложив почленно (21) и (22), придём к (15) – формуле Грина.