И их вычисление

Пусть на плоскости задана кривая (см. рис. 152), на которой заданы функции и Считаем их непрерывными функциями точки кривой т. е. для любой фиксированной точки кривой имеют место равенства

На кривой положи-тельным будем считать направ-ление движения от точки к точке Кривую разобьём на частей точками ( обозначим , а – ). Считаем, что индексы точек деления возрастают при движении от точки к Координаты точек обозначим , а разность координат Здесь и – проекции направленной дуги (и вектора ) на оси и соответственно.

Пусть – произвольная точка дуги . Вычислим в ней значение функции и умножим это значение на . Вычислим аналогичные произведения для всех дуг кривой и найдем их сумму

Пусть – длина дуги кривой – наибольшая из всех длин Число делений устремим к бесконечности так, чтобы т. е. чтобы все дуги стягивались в точки. При этом для всех имеем Если существует конечный предел и он не зависит ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом по координате от функции и обозначается Итак,

(1)

Точно так же вводится криволинейный интеграл по координате

(2)

Сумма двух интегралов по координатам называется составным криволинейным интегралом по координатам и обозначается т. е.

Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями

(3)

где отвечает точке , а отвечает точке . Пусть точкам деления кривой отвечают значения равные соответственно причём и Этими числами интервал делится на частей. Так как значению отвечает точка то её абсцисса находится по формуле (3) при значении т. е. Аналогично Их разность

(4)

Разность в правой части запишем по формуле Лагранжа:

Обозначим тогда (4) примет вид

(5)

В качестве возьмём ту точку, которая отвечает значению координаты точки вычислим по формуле (3) при будем иметь Эти значения, а также выражение (5) для подставим в (1) и получим

(6)

Будем считать, что непрерывны в интервале Тогда функция непрерывна в интервале В правой части (6) стоит ее интегральная сумма, следовательно, предел в (6) есть определённый интеграл от указанной функции, взятый по интервалу

(7)

Эта формула позволяет вычислить криволинейный интеграл по координате для кривой заданной параметрическими уравнениями (3), так как выражает его через определённый интеграл.

Аналогично для криволинейного интеграла по координате будем иметь

(8)

Сложив почленно (7) и (8), получим

(9)

Итак, чтобы криволинейный интеграл по координатам для кривой заданной параметрически уравнениями (3), выразить через определённый интеграл, нужно положить и учесть, что пределы и отвечают соответственно началу и концу кривой

В (9) поменяем местами и следовательно, и Тогда

(10)

Здесь – начало, – конец кривой. Правые части (9) и (10) отличаются лишь знаком, поэтому

Таким образом, при изменении направления кривой криволинейный интеграл по координатам меняет лишь знак. Остальные свойства криволинейных интегралов аналогичны свойствам определённых интегралов.

Например, если кривая разбита точкой на две части, то

где и

Отметим, что если конец кривой совпадает с началом то получаем замкнутую линию В этом случае за положительное направление берут движение против хода часовой стрелки. Интеграл по замкнутой линии обозначается так:

или

Пример. Требуется вычислить криволинейный интеграл по кривой с уравнением соединяющей точки и (см. рис. 154).

Рассматриваемая кривая является частью параболы. Чтобы воспользоваться формулой (9), нужно записать уравнение кривой в параметрическом виде: положим тогда . Таким образом, получили уравнения вида (3), в которых поэтому и Точке отвечает значение точке – значение По формуле (9) искомый интеграл

Запишем еще две формулы, аналогичные (7) и (8). Пусть кривая задана уравнением – соответственно абсциссы точек и Это уравнение запишем в параметрическом виде, положив , и получим Согласно формуле (7) параграфа 1, учитывая, что будем иметь

(11)

Как известно, определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, поэтому в правой части формулы (11) переменную можно заменить на :

(12)

Формула (12) выражает криволинейный интеграл по координате через определённый интеграл, когда кривая задана уравнением

Аналогично можно показать, что если кривая задана уравнением (рис. 155), то криволинейный интеграл по координате для кривой вычисляется по формуле

(13)