Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла

Пусть в области на плоскости задана функция Будем считать, что эта функция имеет непрерывные частные производные по и по в области Для определённости предположим, что в При этом в пространстве функции отвечает поверхность, расположенная выше плоскости (рис. 144). Требуется вычислить площадь этой поверхности.

Разобьём область на частей с площадями Внутри части с площадью возьмём произвольную точку В этой точке вычислим значение заданной функции и найдём число Это число – аппликата некоторой точки поверхности Очевидно, абсциссы и ординаты точек и совпадают. В точке проведём касательную плоскость к поверхности а через границу области – цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Эта поверхность отсечет на только что проведённой касательной плоскости фигуру, площадь которой обозначим Это построение выполним для всех частей, на которые мы разбили область , и получим фигуру, состоящую из кусков касательных плоскостей, проведённых к поверхности в точках …, . Площадь этой фигуры равна сумме площадей, из которых она состоит, т. е.

Пусть – наибольший из всех диаметров частичных областей Число устремим к бесконечности так, чтобы Тогда все стягиваются в точки, и фигура, состоящая из кусков касательных плоскостей, приближается к заданной поверхности. Поэтому естественно за площадь поверхности принять предел площади указанной фигуры (состоящей из кусков касательных плоскостей):

(18)

Пусть есть вектор, направленный по нормали к поверхности в точке а – острый угол, образованный этим вектором с осью Ясно, что этот угол равен двугранному углу между касательной плоскостью в точке к рассматриваемой поверхности и плоскостью Поскольку – проекция на плоскость фигуры с площадью лежащей на указанной касательной плоскости, то

(19)

Формула (19) очевидна, если имеет форму прямоугольника, сторона которого параллельна линии пересечения касательной плоскости в точке к поверхности и плоскости (сделайте чертёж и убедитесь в этом!). Справедливость (19) в общем случае следует из того, что любую фигуру можно рассматривать как предел вписанной в неё фигуры, состоящей из прямоугольников вышеуказанного вида.

Запишем уравнение поверхности, перенеся влево: Левую часть обозначим через тогда уравнение поверхности запишется так: Найдём от функции первые частные производные: Эти производные вычислим в точке поверхности:

Как следует из результатов параграфа 17 главы 9, эти производные, вычисленные в точке , равны проекциям на оси координат вектора направленного по нормали к поверхности в точке Можно считать, что проекции этого вектора вычислены в точке так как сюда входят только координаты этой точки. Длина этого вектора равна

(20)

Из формулы (19) имеем

(21)

Учтём, что проекция на ось вектора равна длине этого вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью. С другой стороны эта проекция равна 1, значит, следовательно, Последнее выражение подставим в формулу (21) и получим Это произведение подставим в правую часть (18) и учтём, что определяется формулой (20). Тогда

(22)

Рассмотрим непрерывную в области функцию В правой части (22) под знаком предела стоит интегральная сумма этой функции и области в которой функция задана, поэтому предел в (22) равен двойному интегралу по области от рассматриваемой функции. Итак,

(23)

Эта формула позволяет вычислить площадь поверхности, заданной уравнением

Пример. Требуется вычислить площадь верхней половины сферы с уравнением

Для точек верхней половины сферы имеем Здесь область – круг, ограниченный окружностью Найдем частные производные

Эти производные подставим в формулу (23), в правой части которой вместо мы должны взять . Тогда будем иметь

В двойном интеграле перейдем к полярным координатам согласно формуле (16) и получим

Последний интеграл выразим через двукратный с учетом сказанного в конце параграфа 9 настоящей главы: