Метод уступок

Предварительно ЛПР ранжирует критерии по важности. В результате критериям присваиваются номера в порядке убывания важности. После этого начинается основная часть диалога. Решается задача максимизации первого критерия при Х D. Если задача имеет множество оптимальных решений, то на нем ищется решение, наилучшее по второму критерию. Если и оно не единственно, то включается третий критерий, и так до достижения единственного решения. Иначе говоря, ищется лексикографически-оптимальное решение. ЛПР предъявляется полученное решение X¹ со значениями всех критериев. ЛПР анализирует это решение и если оно его не устраивает, диалог продолжается. ЛПР просят указать, на какую величину он согласен снизить значение первого критерия с тем, чтобы улучшить значение второго. В результате формируется новая задача:

f ₂ ( X ) max,

f ₁ ( X ) , (10.22)

X D,

где - уступка по первому критерию. Снова ищется лексикографическое решение, начиная с задачи (10.22.).

ЛПР оценивает предъявленное ему новое решение X² и прежде всего улучшение второго критерия, которое определяется как разность в двух решениях: f ₂(Х² )-f ₂(X¹). За такое увеличение f ₂ он платит цену, равную . Если значение f ₂(Х²) не удовлетворяет ЛПР, он может увеличить уступку и снова решить задачу (10.22.). Возможность улучшения значения одного критерия за счет другого показана на рис 10.14. Решение по первому критерию соответствует точке B. Введение уступки позволяет получить решение с лучшим значением f ₂ (точка A). Если решение X² не обеспечивает приемлемого значения f ₃, ЛПР должен назначить уступку по второму критерию - . Тогда решается задача

f ₃(Х)=> max,

f ₁(X) ,

f ₂(X) , (10.23)

X D.

Аналогично формируются задачи по остальным критериям, если их значения не устраивают ЛПР. Очевидно, что в процессе поиска наилучшего решения ЛПР может возвращаться на любое число шагов назад, изменять свои уступки и получать новые решения. Тем самым он выявляет количественные взаимосвязи (замещения) критериев, что облегчает выбор окончательного решения.

Пример 10.6. Решим задачу из примера 10.1. Пусть ЛПР представил ранжирование критериев в виде: f ₁, f ₃, f ₂. Максимум f ₁ достигается в точке А (рис.10.9), где =12, f ₃=-30, f ₂=18. ЛПР не удовлетворен значением критерия f ₃ и готов пойти на снижение критерия f ₁ на величину =7. В соответствии с рассмотренной процедурой в условия задачи вводится новое ограничение

f ₁ ( X )

или в явном виде

- 3 x ₁ + 2 x ₂ 5.

В результате допустимое множество сузится до треугольника AMN (рис.10.15). Найдем решение, максимизирующее f ₃ на этоммножестве. Оно лежит в вершине N, где f ₁=5, f ₃=-12,5 и f ₂=7,5.Таким образом, за счет снижения первого критерия на 7 единиц увеличилось значение третьего критерия (второго по важности) на 17,5. Однако ЛПР не устраивает значение критерия f ₂. Чтобы повысить его, ЛПР согласен уменьшить f ₃ до -18, то есть уступает =5,5. Тогда условия задачи дополняются еще одним ограничением

f ₃ ( X ) -18 или - 2 x ₁ + 5 х ₂ 18,

и допустимое множество уменьшается до треугольника NPQ (рис.10.16).

Максимизируя f ₂, получим решение в точке Q со значениями критериев: f ₁=5, f ₃=-18, f ₂=16. Как видно, второй критерий увеличился на 8,5 за счет снижения третьего на 5,5. Анализируя полученное решение, ЛПР либо принимает его за окончательное, либо, изменив уступки, продолжает поиск.

Нетрудно убедиться в том, что решения формируемых задач, если они единственны, принадлежат паретовскому множеству исходной многокритериальной задачи.