Элементы байесовских моделей

Пусть неидеальный эксперимент е не приводит к определению в точности состояний природы П_j, а лишь дает некоторые косвенные сведения в пользу тех или иных состояний. Тогда в общем случае мы можем предположить, что эксперимент е приводит к появлению одного из событий В₁, В₂. .. В_k. Причем вероятности этих событий (исходов эксперимента) зависят от условий, в которых он проводится, т.е. П₁, П₂... П_n.

Обозначим условную вероятность появления события Р(В_l/П_j), где j= 1...n, l=1...k. Будем считать, что все эти условия вероятности нам известны. После осуществления эксперимента е, давшего некоторый исход, нам придется пересмотреть вероятности условий: состояния природы будут характеризоваться не прежними априорными вероятностями Q₁, Q₂. .. Q_n, а новыми апостериорными (вероятности после опыта) Q₁, Q₂ ... Qn, т.е. условными вероятностями А₁, А₂. .. An при условии, что эксперимент дал результат В_l

Из курса теории вероятности известно, что апостериорные вероятности подсчитываются по формуле Байеса:

С этой формулой связан подход принятий решений в ситуации неопределенности, называемый байесовским подходом. Иллюстрацией этого подхода принятия решений в условиях неопределенности даже безотносительно игр с природой может быть следующий пример.

Пример оценивания результатов бурения

Испытание керна и другие виды испытаний, производимые разведочной скважиной, не всегда позволяют достоверно определить нефтегазоносность пласта. Пласт может быть вскрыт скважиной в законтурной зоне (зоне вне пласта) или может быть слабо выражен в

области вскрытия. Тогда используют косвенные методы, которые дают результаты, обладающие значительной долей неопределенности, например, микропалеонтологию.

Допустим, экспертиза геологов и результаты предыдущих исследований дали следующие гипотезы:

Р(Н1)=0,6 - пласт нефтеносный;

Р(Н2) = 0,4 - пласт водоносный.

Надо найти условную вероятность того, что пласт нефтеносен, если:

• произошел случай В1 - в керне обнаружена ключевая микрофлора;

• произошел случай В2 - в керне не обнаружена ключевая микрофлора.

Пусть далее известно, что нефтяные и водоносные пласты содержат одинаковую микрофауну, но в нефтеносном пласте она встречается в 95% случаев, а в водоносном - в 70%. Следовательно, нам известна условная вероятность

Р(В1/Н1)=0,95;

Р(В1/Н2)=0,70.

Вероятность открытия месторождения на основании формулы Байеса, после того, как обнаружена микрофлора (в случае В1 ), определяется по следующей формуле:

18, 19. Модели стохастического математического программирования: М-задача и Р-задача

Стохастическое программирование — это подход, позволяющий учитывать неопределѐнность в оптимизационных моделях. Это означает, что, либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).

Реальные прикладные задачи обычно содержат некоторые неизвестные параметры. Когда параметры известны только в пределах определенных границ, один подход к решению таких проблем называется робастной оптимизацией. Этот подход состоит в том, чтобы найти решение, которое является допустимым для всех таких данных и в некотором смысле оптимально.

Модели стохастического программирования имеют подобный вид, но используют знание распределений вероятностей для данных или их оценок. Цель здесь состоит в том, чтобы найти некоторое решение, которое является допустимым для всех (или почти всех) возможных значений данных и максимизируют математическое ожидание некоторой функции решений и случайных переменных.

Наиболее широко применяются и хорошо изучены двухэтапные линейные модели стохастического программирования. Здесь лицо, принимающее решение, предпринимает некоторое действие на первом этапе, после которого происходит случайное событие, оказывающее влияние на результат решения первого этапа. На втором этапе может тогда быть принято корректирующее решение, которое компенсирует любые нежелательные эффекты в результате решения первого этапа.

Оптимальным решением такой модели является единственное решение первого этапа и множество корректирующих решений (решающих правил), определяющих, какое действие должно быть предпринято на втором этапе в ответ на каждый случайный результат.

В задаче линейного программирования

заданы величины cj, aij, bi, Dj. Часто на практике величины cj, aij bj, могут быть случайными. Так, если bi — ресурс, то он зависит от ряда факторов. Аналогично, сj — цены — будут зависеть от спроса и предложения, aij — расходные коэффициенты — от уровня техники и технологии. Задачи, в которых сj, аij, bi — случайные величины, относят к задачам стохастического программирования. Переход от чистых стратегий к смешанным расширяет область определения задачи. Вычисление оптимальной смешанной стратегии иногда называют определением решающего распределения стохастической задачи.

Задача стохастического программирования предусматривает стохастическую постановку и целевой функции, и ограничений. Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М-постановка и Р-постановка. При М-постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием и задача сводится к оптимизации детерминированной целевой функции:

где ć_j – математическое ожидание случайной величины c _j.

При P-постановке целевая функция будет иметь вид:

при минимизации целевой функции

обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина будет не больше некоторого значения r;

при максимизации целевой функции

обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина будет не меньше некоторого значения r;