Общие представления о симметрии

Понятия симметрии и противоположного ей объективного свойства природы - асимметрии являются одними из фундаментальных в современном естествознании. Поэтому научные исследования общеглобального характера в значительной степени основываются на рассмотрении указанных понятий. Негласный лозунг физиков-теоретиков: «правильная теория должна быть красивой» — находит свое место в построении новых теоретических моделей и связан зачастую с симметрийными представлениями, а эстетический фактор играет при этом не последнеe значение. Симметрия является одним из фундаментальных свойств природы, представление о ней складывалось в течение в течение жизни десятков сотен и тысяч поколений людей. Как говорил наш известный кристаллограф А. В. Шубников (1887—1970),посвятивший изучению симметрии всю свою жизнь, «изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии и осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм». Быть прекрасным, говорил Платон, «значит быть симметричным и соразмерным».

Интуитивно симметрия в своих простых формах понятна любому человеку, и часто мы выделяем ее как элемент прекрасного и совершенного. В известной мере симметрия отражает степень упорядоченности системы. Например, окружность, ограничивающая каплю на плоскости, более упорядочена, чем размытое пятно на этой же площади, и, следовательно, более симметрична. Поэтому можно связать изменение энтропии как характеристики упорядочения с симметрией: чем более организовано вещество, тем выше симметрия и тем меньше энтропия.

Одно из определений понятия симметрии и асимметрии дал В. Готт: симметрия – понятие отражающее, существующий в природе порядок, пропорциональность и соразмерность между элементами какой-либо системы или объекта природы, упорядоченность, равновесие системы, устойчивость, т.е., если хотите, некий элемент гармонии. Другое определение дал Г. Вейль: «Симметричным является предмет, с которым можно сделать нечто, не изменяя этого предмета». Асимметрия — понятие противоположное симметрии, отражающее разупорядочение системы, нарушение равновесия, что связано с изменением, развитием системы. Из соображений симметрии-асимметрии приходят к выводу, что развивающаяся динамическая система должна быть неравновесной и несимметричной. В ряде случаев симметрия является достаточно очевидным фактом. Например, для определенных геометрических фигур не трудно увидеть эту симметрию и показать ее путем соответствующих преобразований, в результате которых фигура не изменит своего вида. Симметрия проявляется не только в понимании геометрического строения тел в природе, но и в ряде областей человеческой деятельности. Симметрия существует в музыке, хореографии (например, в болеро Равеля многие народные песни и танцы построены симметрично), в зеркальной симметрии текста (любопытно, что при горизонтальной оси симметрии буквы зеркально отражаются и «читаются», а при вертикальной оси симметрии — нет), в начертании знаков языка (например, в китайской письменности имеется иероглиф, означающий истинную середину), архитектуре, живописи, математике, логике, строении живых организмов и растенийи др. В. И. Вернадский справедливо отмечал: «Новым в науке явилось не выявление принципа симметрии, а выявление его всеобщности».

Для живых организмов симметричное расположение частей органов тела помогает сохранять им равновесие при передвижении и функционировании, обеспечивает их жизнестойкость и лучшее приспособление к окружающему миру, что справедливо и в растительном мире. Например, ствол ели или сосны чаще всего прям и ветви равномерно расположены относительно ствола. Так дерево, развиваясь в условиях действия силы тяжести, достигает устойчивого положения. К вершине дерева ветви его становятся меньше в размерах — оно приобретает форму конуса, поскольку на нижние ветви, как и на верхние, должен падать свет. Кроме того, центр тяжести должен быть как можно ниже, от этого зависит устойчивость дерева.

Законы естественного отбора и всемирного тяготения способствовали тому, что дерево не только эстетически красиво, но устроено целесообразно. Получается, что симметрия живых организмов связана с симметрией законов природы. На житейском уровне, когда мы видим проявление симметрии в живой и неживой природе, то невольно испытываем чувство удовлетворения тем всеобщим, как нам кажется, порядком, который царит в природе.

Однако понятие симметрии гораздо шире и ее можно понимать как неизменность (инвариантность) каких-либо свойств объекта по отношению к преобразованиям, операциям, выполняемым над этим объектом. Причем это может быть не только материальный объект, но и закон, математическая формула или уравнения, в том числе и нелинейные, которые играют большую роль в самоорганизующихся процессах.

Дать более конкретное определение симметрии, чем у Готта, в общем случае затруднительно еще и потому, что она принимает свою форму в каждой сфере человеческой деятельности. В искусстве симметрия может проявиться в соразмерности и взаимосвязанности, гармонизации отдельных частей в целом произведении. В математических построениях также имеют мест симметричные многочлены, которые можно использовать для существенного упрощения решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Особенно полезным оказалось использование симметрийных представлений в теории групп с введением инварианта, т.е. такого преобразования, когда соотношения между переменными не изменяются. Отражением связи пространства, симметрии и законов сохранения может служить мысль великого французского математика А.Пуанкаре: «Пространство — это группа».

Наиболее наглядное и непосредственное применение идей симметрии имеет место в кристаллографии и физике твердого тела, изучающих физические свойства кристаллов в зависимости от их строения. Даже непосвященному человеку хорошо видна здесь ассоциация с неким совершенством, порядком и гармонией. Идеи симметрии являются для мира кристаллов естественной базой их физической сущности. Один из создателей современной физики твердого тела Дж. Займен вообще считал, что вся теория твердых тел основана на трансляционной симметрии. Здесь симметрия проявляется при совмещении геометрических тел, например правильных многогранников, при повороте их в пространстве на определенные углы, а также при перемещениях в атомной решетке на определенные величины векторов трансляции, кратных периоду решетки.