Фазовое пространство. Аттракторы

Рассмотрим возможности описания динамики частиц. Существует два подхода к решению такой задачи: механический и термодинамический. Эволюцию динамической системы можно анализировать в абстрактном пространстве состояний — фазовом пространстве, в котором можно ввести координаты, описывающие состояние системы, в частности фазу системы. Это понятие является обобщенным и широко используется в различных областях науки и даже нашей обычной жизни (фазовые состояния вещества, фазовый переход, фаза развития общества, фаза роста, фаза функции, фаза развития системы и т.д.). Для систем классической механики такими координатами является положение точек и их скорости в каждый момент времени. Совокупность последовательных положений системы в фазовом пространстве составляет фазовую траекторию. Выстраивая такую траекторию в фазовом пространстве, необходимо указывать направление перемещения системы по фазовой траектории во времени. Не останавливаясь далее на математической стороне дела, укажем, по крайней мере, на три полезных преимущества введения такого фазового пространства.

Во-первых, можно проще провести анализ движения, если перейти из обычного координатного пространства в фазовое. Например, если равномерное движение на пространственно-временной диаграмме переменных х, t изображается прямой линией, а равнопеременное — параболой (кривой второго порядка), то на фазовой плоскости ν, x (где ν — скорость, x — координата) такие движения изображаются соответственно точкой и прямой (кривой первого порядка). Для пружинного маятника фазовой плоскостью, как следует из уравнения его движения, будет плоскость: координата — скорость и вместо зависимостей x{t) и v(t) можно рассматривать фазовую траекторию v (x). Во-вторых, в фазовом пространстве также проще анализировать устойчивость решения задачи движения тела и исследовать проблему устойчивости—неустойчивости системы.

В основу классификации движений и их моделей положено условие воспроизводства решений по заданным начальным условиям. Так, колебания маятников с различными энергиями на фазовой плоскости изображают эллипсами, которые не пересекаются, что соответствует идеальным собственным колебаниям в консервативной системе без потерь. Анализ динамики систем в таком предположении показывает, что с течением времени фазовые траектории из определенных областей пространства концентрируются вокруг некоторых точек — система как бы притягивается к этим точкам в процессе своего развития.

Точки, притягивающие траекторию развивающейся динамической системы, получили название аттракторов (от английского attract — привлекать, притягивать). Кроме аттрактора типа «центр» и «узел» (рис. 14.1 а, в) могут быть такие точки типа «фокус» (рис. 14.1, б), аттрактор с потерей энергии, диссипацией ее и типа «седло» (рис. 14.2, е). Из этих рисунков видно, что траектории притягиваются, но не пересекаются. Такой анализ на ранней стадии позволяет прогнозировать поведение исследуемой системы. Из аттрактора типа «седло» уже можно сделать вывод, что траектории могут и расходиться. Такие точки с расходящимися траекториями получили название странных аттракторов (термин ввели математики Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 г.). Странный аттрактор — это, по существу, математический образ сложного движения, как выяснилось, именно в нелинейных диссипативных динамических системах. Странность аттрактора заключается в том, что в отличие от обычного аттрактора, который характеризует устойчивость динамической системы, все траектории вокруг него динамически неустойчивы, и эта неустойчивость проявляется в перемешивании траекторий в фазовом пространстве. Отсюда появляется и третье преимущество фазового пространства, связанное с вышеизложенным: в нем можно анализировать не только линейные, но и нелинейные динамические системы. Примером аттрактора может быть поток быстротекущей воды в горных реках через камень. Струйки воды постоянно меняют траектории движения, но поток в целом устойчив на поверхности камня, не выходит за определенные пределы.

а б в Рис. 14.1. Особые устойчивые точки: а – узел, б­­ – фокус, в – центр.

с d е Рис. 14.2. Особые неустойчивые точки: c – узел, d – фокус, е – седло.

Согласно теории об устойчивости движения можно судить по знаку производной функции, описывающей это движение вблизи стационарной точки. Если смена знака первой производной определяет характер устойчивости, то при одних значениях параметров система устойчива, а при других — может наступить переход от устойчивого характера движения к неустойчивому, в общем случае — от одного режима к другому.

Можно ввести величину критического порогового параметра, когда система переходит в другое состояние, меняет характер динамического поведения при изменении управляющего параметра, которым, по существу, является рассмотренная ранее бифуркация.

Проблемой устойчивости решений уравнений динамики занимается раздел математики, называемый теорией катастроф, которая определяет скачкообразное изменение («катастрофу») параметров системы как ее внезапный ответ на плавные изменения внешних условий, что и ведет к потере устойчивости движения.