Исследование линейных САУ с помощью преобразования Лапласа. Основные определения и свойства преобразования. Передаточные функции линейных САУ. Собственные и вынужденные колебания

Мощным инструментом для анализа линейных САУ является использование преобразования Лапласа. Оно заключается в том, что любой произвольный сигнал во времени можно преобразовать в виде бесконечной суммы комплексных экспонент e ^-jwt, тогда прохождение сигнала в линейной САУ можно представить как произведение экспонент в сигнале u(t).

(прямое преобразование),

(обратное преобразование).

s – оператор Лапласа.

При решении диф ур в частной области интегрального преобразования Лапласа получим

Множитель перед X(s) – собственный оператор, а перед U(s) – оператор воздействия

U(s) – изображение входного воздействия; X(s) – изображение выходного воздействия.

Если выразить выходную величину через входную то получим: X(s)=W(s)×U(s);

– передаточная функция

Свойства преобразования Лапласа:
1. Линейность: L{ax₁(t)+bx₂(t)}=aX₁(s)+bX₂(s);

2. Свойство дифференцирования: L{dⁿx/dxⁿ}=sⁿX(s) – без н.у.;

3. Интегрирование оригинала:

4. Запаздывание: L{x(t-t)}=e ^-ttX(s);

5. Свертки: L{x₁(t)*x₂(t)}=X₁(S)×X₂(s);

6. Предельных значений: x(t)|_t=0=lim_s->¥ sX(s); x(t)|_t=¥=lim_s->0 sX(s);

7. Теория разложения: