Фильтры Чебышева и Батерворда их свойства и применение

Фильтры Чебышева предназначены для частотной селекции сигналов. Несмотря

на то что они уступают по некоторым показателям фильтрам, полученным

оконными методами, для многих практических приложений такие фильтры оказываются

предпочтительнее. Самым главным достоинством чебышевских фильтров

является значительное уменьшение количества вычислений. По этому параметру

они более чем на порядок превосходят оконные фильтры. Это связано с

рекурсивной структурой фильтров Чебышева, обеспечивающей более высокое

быстродействие по сравнению со свёрткой. В основе расчёта фильтров Чебышева

лежит математический аппарат, получивший название Z-преобразования, о котором

пойдет речь в Главе 33. В этой главе мы постараемся рассказать о практике

использования фильтров Чебышева, обходя по мере возможности тернии высшей

математики.

20.1. Частотные характеристики фильтров

Чебышева и Баттерворта

При расчёте фильтров Чебышева за счёт допущения неравномерности амплитудно-

частотной характеристики (АЧХ) удаётся увеличить крутизну спада на границе

полосы пропускания. Такой подход характерен как для аналоговых, так и для

цифровых фильтров Чебышева. Аналоговые чебышевские фильтры применяются,

например, в аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразователях, речь о

которых шла в Главе 3. Название этих фильтров происходит от полиномов Чебышева,

положенных в основу их математического описания. Данные полиномы были

получены русским математиком Пафнутием Чебышевым (1821-1894) 1>.

На Рис. 20.1 показаны характеристики низкочастотных фильтров Чебышева с

неравномерностью в полосе пропускания: О, 0.5 и 20%. Увеличение неравномерности

АЧХ в полосе пропускания позволяет повысить крутизну её спада в переходной

зоне. Расчёт фильтра Чебышева связан с нахождением некоторого компромисса

между этими двумя параметрами. Фильтр с нулевым уровнем

неравномерности, т. е. с максимально гладкой АЧХ, называют фильтром Баттерворта

(по имени английского инженера С. Баттерворта, впервые описавшего его

характеристики в 1930 году). Как правило, используют цифровые фильтры с

уровнем неравномерности АЧХ 0.5%, которые по точности и качеству работы наилучшим

образом соответствуют компонентам аналоговой электронной техники. В этой главе рассматриваются чебышевские фильтры первого типа, для которых

допускается наличие колебаний АЧХ только в полосе пропускания. Заметим,

что фильтры второго типа имеют колебания только в зоне подавления. Мы не будем

подробнее останавливаться на фильтрах второго типа, так как они редко используются

на практике. Существует ещё один тип фильтров - эллиптические. Для них

характерно наличие колебаний и в полосе пропускания, и в зоне подавления. Описание

этого типа фильтров также остаётся за рамками книги, но следует помнить,

что очень часто профессиональные разработчики выбирают именно эти фильтры

(как аналоговые, так и цифровые). Если вам требуются эллиптические фильтры,

вы можете найти необходимое для их расчёта программное обеспечение.

20.2. Расчёт фильтра

Расчёт фильтра Чебышева предполагает выбор четырёх параметров: 1) тип

фильтра (высокочастотный или низкочастотный); 2) частота среза; 3) уровень неравномерности

АЧХ в полосе пропускания; 4) количество полюсов. Что такое полюсы?

Приведём далее два варианта ответа на этот вопрос. Если будет непонятен

первый - обратитесь ко второму.

Ответ 1. Преобразование Лапласа и Z-преобразование позволяют описать импульсную

характеристику фильтра с помощью набора синусоид и убывающих экспонент.

Для этого требуется предварительно представить частотную характеристику

в форме отношения двух многочленов. Корни числителя передаточной

функции называют нулями, а корни знаменателя - полюсами. Полюсы и нули могут

выражаться комплексными числами, поэтому говорят, что они «располагаются

» на комплексной плоскости. Чем больше нулей и полюсов, тем выше качество

системы. Расчёт рекурсивных фильтров начинают с размещения полюсов и нулей,

а уже затем находят подходящие весовые коэффициенты. Например, полюсы

фильтра Баттерворта лежат в комплексной плоскости на окружности, тогда

как у фильтра Чебышева они расположены по эллипсу. Подробнее об этом говорится

в Главах 32 и 33.

Ответ 2. Каждый полюс - это этакий «сундучок» с магической силой. Чем

больше полюсов у фильтра, тем лучше он работает. Но если серьёзно, то вам просто следует усвоить, что можно научиться эффективно

использовать фильтры, не углубляясь в «занудную» математику. Расчёт

фильтров - это отдельная задача, требующая специальных знаний. Большинство

же инженеров и программистов представляют себе фильтры в повседневной своей

работе скорее на уровне ответа 2, чем ответа 1.

На Рис. 20.2 показаны частотные характеристики фильтров Чебышева с уровнем

неравномерности АЧХ - 0.5%. Использованный метод расчёта требует чётного

числа полюсов. Граница полосы пропускания определяется точкой пересечения

амплитудно-частотной характеристикой уровня 0.707 (-3 дБ). Крутизна

спада АЧХ фильтров, частота среза которых близка к О или 0.5, оказывается выше,

чем у фильтров с частотой среза ближе к середине частотного диапазона. Например,

двухполюсный фильтр, у которого fc = 0.05, оказывается близким по крутизне

спада к четырёхполюсному фильтру с частотой среза fc = 0.25. Отсюда появляется

замечательная возможность уменьшения числа полюсов у фильтров с очень

узкой или, наоборот, с очень широкой (близкой к 0.5) полосой пропускания. Но

об этом чуть позже.

Существуют два способа нахождения коэффициентов обратной связи без использования

Z-преобразования. Первый способ для «чайников» - можно воспользоваться

справочной таблицей. В Табл. 20.1и20.2 приводятся коэффициенты обратной связи для низкочастотных и высокочастотных фильтров с неравномерностью

в полосе пропускания на уровне 0.5%. Если вам нужно быстро спроектировать

более или менее нормальный фильтр, достаточно просто скопировать эти

коэффициенты в свою программу.

Однако использование табличных значений приводит к двум серьёзным проблемам.

Первая связана с ограничением в выборе параметров: в таблицах представлены

лишь 12 значений граничной частоты полосы пропускания; фильтры

имеют не более 6 полюсов; совершенно отсутствует возможность выбора уровня

неравномерности АЧХ в полосе пропускания. Не имея возможности выбора этих

параметров из непрерывного ряда значений, нельзя получить оптимальный

фильтр, подходящий вам наилучшим образом. Вторая проблема состоит в том,

что табличные коэффициенты придётся вводить в программу вручную, что оказывается

весьма трудоёмким и не даёт возможности экспериментировать, выбирая

то один, то другой фильтр.

Чтобы облегчить свой труд, попробуйте вместо ввода табличных данных воспользоваться

программой расчёта коэффициентов. Примером такой программы

может служить Программа 20.1. Достоинство этой программы состоит в относительной

её простоте: необходимо только ввести упомянутые нами ранее четыре

параметра фильтра, и программа сама запишет коэффициенты ai и bi в массивы

А[ ] и В[ ]. Но есть и недостаток: программа должна обращаться к подпрограмме

(Программа 20.2). После первого беглого просмотра эта подпрограмма может

привести вас в ужас. Но не отчаивайтесь: она совсем не такая уж страшная, как

это кажется на первый взгляд! В ней всего лишь один оператор условного перехода

в строке 1120. Всё остальное - это последовательно выполняемые сложные

математические операции. Подпрограмма использует шесть входных, пять выходных

и пятнадцать временных переменных. В Табл. 20.4 имеется два набора

тестовых данных, необходимых для отладки подпрограммы. Подробнее работа

программы рассмотрена в Главе 31.