ФЧХ. Двунапрвленная фильтрация

В аналоговой схемотехнике тоже приходится решать проблему нелинейности

ФЧХ. Представьте на своём рабочем столе электрическую схему с резисторами и

конденсаторами. Пока сигнал на входе равен нулю, выходной сигнал тоже сохраняет

нулевое значение. Если на вход подать короткий импульс, конденсаторы

мгновенно зарядятся и далее начнут разряжаться по экспоненциальному закону

через резисторы. Импульсная характеристика (наблюдаемый выходной сигнал)

представляет собой комбинацию этих спадающих с разными скоростями экспонент.

Импульсная характеристика никак не может оказаться симметричной, поскольку

до поступления импульса на вход схемы на её выходе сигнал равнялся нулю,

а экспоненты убывают до бесконечности, так и не достигая нуля.

Разработчики аналоговых фильтров решают эту проблему при помощи фильтра

Бесселя (Глава 3). При построении фильтра Бесселя ставите~ задача сделать ФЧХ

как можно более линейной. Но такие фильтры всё равно сильно уступают по качеству

цифровым фильтрам, для которых обеспечение линейной ФЧХ - элементарная

задача.

К счастью, есть очень простой способ построения рекурсивного фильтра с нулевой

фазой (Рис. 19.8). Пусть, для примера, на вход однополюсного НЧ-фильтра

поступает прямоугольный импульс (а). Так как ФЧХ фильтра является нелинейной,

передний и задний фронты импульса оказываются несимметричными после

выполнения фильтрации: точнее говоря, задний фронт по форме совпадает с перевёрнутым

передним фронтом импульса (б). Данный фильтр вычисляет отсчёты

выходного сигнала, начиная с нулевого и заканчивая 150-м, аналогично тому, как

это происходило и в других рассмотренных ранее при мерах.

Теперь предположим, что вместо продвижения от нулевого отсчёта к 150-му,

фильтр производит обработку с,игнала в обратном направлении: от 150-го отсчёта

к нулевому. Другими словами, каждый отсчёт выходного сигнала выражается через

отсчёты входного и выходного сигналов, расположенные на временной оси

справа от него. Тогда уравнение рекурсивного фильтра (19.1) приобретает новую

форму:

Само по себе изменение направления фильтрации не приносит никакой

пользы: передний и задний фронты импульса по-прежнему отличаются друг от

друга. Но когда фильтрация производится в обоих направлениях, происходит чудо.

Импульс, изображённый на (z), получен при выполнении фильтрации сначала

в прямом, а затем в обратном направлении. Ну, как вам такой фокус?! Получается

рекурсивный фильтр с нулевой фазой. Рассмотренный метод двунаправленной

фильтрации позволяет получить фильтр с нулевой фазой практически из любого

рекурсивного фильтра. Единственной «платой» за улучшение ФЧХ является усложнение

кода программы и увеличение вдвое времени её выполнения.

Как определить импульсную и частотную характеристики полученного фильтра

с двунаправленной фильтрацией? При изменении направления фильтрации

АЧХ фильтра остаётся прежней, а все отсчёты ФЧХ меняют свой знак на противоположный.

В результате объединения двух таких фильтров в один все отсчёты

АЧХ возводятся в квадрат, а отсчёты ФЧХ обращаются в ноль. Во временной области

объединение фильтров выражается в свёртке исходной импульсной харак -

теристики с её отражением в направлении «слева направо». Для примера возьмем

однополюсный НЧ-фильтр с экспоненциально спадающей ФЧХ. Чтобы определить

импульсную характеристику соответствующего двунаправленного фильтра,

нужно выполнить свёртку экспоненты, которая спадает «слева направо», с экспонентой,

имеющей такую же скорость спада, но в направлении «справа налево».

После выполнения нескольких математических преобразований выясняется, что

импульсная характеристика результирующего фильтра имеет вид импульса, образованного

двумя экспонентами: сначала возрастающей, а затем убывающей. При

этом по скорости спада обе экспоненты повторяют исходную импульсную характеристику.

Во многих практических приложениях данные обрабатываются отдельными

блоками. В таких случаях двунаправленная фильтрация может быть использована

совместно с методом секционирования, о котором говорилось в предыдущей главе.

Если вас спросят, какова в этом случае длина импульсной характеристики, не говорите,

что она бесконечна, потому что это означало бы, что каждый сегмент дополняется

бесконечным числом нулевых отсчётов. Помните, что импульсную характеристику

можно ограничить интервалом, за пределами которого она

становится ниже уровня шумов округления, т. е. периодом, в 15... 20 раз превышающим

постоянную времени. Для согласования длины сегмента и длины импульсной

характеристики двунаправленного фильтра справа и слева добавляется необходимое

количество нулевых отсчётов.