Сложение плоской системы сходящихся сил

Сложение двух сходящихся сил, т. е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, производится по тем же двум правилам – правилу параллелограмма и правилу треугольника, рассмотренным в главе I (§ 1), и теми же методами – графическим, графо-аналитическим и аналитическим (методом проекций).

При сложении сил необходимо учитывать следующее обстоятельство.

В теоретической механике – в механике твердого тела, сила – скользящий вектор, т. е. при решении задач силу можно переносить вдоль линии ее действия в любую точку. Поэтому, если на тело действуют две силы P1 и P2, лежащие в одной плоскости, как, например, показано на рис. 25, а, то эти силы можно перенести в точку C – точку пересечения линий действия данных сил и считать их приложенными таким образом к одной точке тела (рис. 25, б), как это и сделано в задаче 20.

Равнодействующую нескольких сил, сходящихся в одной точке, можно определить способом последовательного сложения. Равнодействующая такой системы сил равна геометрической сумме этих сил, т. е.

и выражается по величине и направлению вектором, замыкающим ломаную линию, стороны которой параллельны и равны данным силам. На рис. 6 показано сложение четырех сил. Многоугольник ABCDE называется силовым многоугольником.

Таким образом, применяя правило силового многоугольника, равнодействующую силу можно найти при помощи геометрического построения (графически).

Равнодействующую системы сходящихся сил можно определить и аналитическим способом (способом проекций).

Рис. 5.

Рис. 6.

При этом пользуются теоремой о проекции равнодействующей силы на данную ось, согласно которой проекция равнодействующей на данную ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых сил на ту же ось.

Применяя эту теорему для случая плоской системы сходящихся сил, находим проекции равнодействующей этих сил на две координатные оси х и у:

По этим проекциям определяются модуль и направляющие косинусы равнодействующей по следующим формулам:

Таким образом, при решении задачи о сложении сходящихся сил, лежащих в одной плоскости, аналитическим способом сначала нужно выбрать систему координатных осей х и у, найти углы каждой силы с координатными осями и вычислить проекции каждой силы на эти оси.

При вычислении проекции данной силы на ось необходимо иметь в виду, что абсолютное значение этой проекции равно произведению модуля силы на косинус острого угла между силой и осью проекций. При этом если направление этой проекции совпадает с положительным направлением оси, то проекция положительна; в противном случае проекция отрицательна (рис. 7).

Иногда бывает удобнее знак проекции определять иначе, а именно: если направление силы составляет острый угол с положительным направлением данной оси, то проекция силы на эту ось положительна. Если же направление силы составляет острый угол с отрицательным направлением данной оси, то проекция на эту ось отрицательна. Если сила параллельна оси, то проекция силы на эту ось равна модулю силы, взятому со знаком плюс или минус в зависимости от того, какой угол (О или 180) составляет сила с положительным направлением оси. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на эту ось равна нулю.

Пример 3. Определить модуль и направление равнодействующей плоской системы сил приложенных в точке А, если и если извеетны углы между этими силами 60° (рис. 8, а).

Решение. Решим эту задачу аналитическим способом. Для этого построим систему координатных осей , направив ось по линии действия силы . Вычислим проекции искомой равнодействующей на оси и у по формулам (7).

Для этого найдем сначала проекции каждой силы на эти оси. Сила направлена по оси , а потому . Сила составляет острый угол, равный 45°, с положительным направлением оси и такой же угол с положительным направлением оси у, а потому , составляет острый угол, равный , с положительным направлением оси , а с отрицательным направлением оси и эта сила составляет острый угол, равный 60°, а потому 30°, 60°. Сила составляет острый угол, равный а 30°, с положительным направлением оси острый угол, равный 60°, с положительным направлением оси у, а потому 60°. После того, как проекции всех сил на координатные оси найдены, вычислим проекции равнодействующей на те же оси:

Теперь находим модуль и направление равнодействующей по формулам (8):

Рис. 7.

Рис. 8.

Графическое решение этой задачи показано на рис. 8,б, где