Циклические группы. Группы подстановок. Кольца и поля

Множество Н(а) тех элементов группы G, которые могут быть представлены в виде а_n при целом n с той групповой операцией, которая задана в группе G, образует группу Н(а).

В самом деле:

- произведение двух элементов, принадлежащих Н(а), есть опять элемент H(а);

- единица принадлежит H(а);

- к каждому элементу а-m из H(а) найдется элемент а-m, который также принадлежит Н(а).

Итак, H(а) - есть подгруппа G. Эта подгруппа называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а. Поскольку в группе Н(а)

a^m*aⁿ=a^m+n=aⁿ*a^m, то группа Н(а) коммутативна.

Мы определили понятие циклической подгруппы Н(а), порожденной некоторым элементом а данной группы G.

Станем теперь на более абстрактную точку зрения и рассмотрим группу Н такую, что каждый ее элемент имеет вид аⁿдля некоторого фиксированного элемента а из Н и некоторого числа n. Такую группу мы назовем ц иклической группой, порожденной элементом а, и будем обозначать, как и ранее, Н(а). Теперь нет нужды считать, что группа Н = Н(а) содержится в какой-либо объемлющей группе.

Кольцо - одно из основных понятий современной алгебры. В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами, над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории колец является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

Кольцом называется непустое множество R, для элементов которого определены две бинарные операции - сложение и умножение (обозначаемые  и  соответственно; знак  обычно опускается), причем предполагаются выполненными следующие аксиомы колец (a,b,c ∈ R):-

1) Коммутативность сложения: a+b=b+a;

2) Ассоциативность сложения: a+(b+c)=(a+b)+c;

3) Обратимость сложения (возможность вычитания): уравнение a  x = b имеет решение x=b-a ∈ R;

4) Дистрибутивность умножения относительно сложения: a(b+c)=ab+ac и (b+c)a=ba+ca.

Кольцо является обобщением системы (Z, +, ) целых чисел, однако в кольце условие ab=ba может нарушаться и равенство a b = 0 может иметь место и тогда, когда a ╧ 0 и b ╧ 0.

Поле - алгебраическое понятие, широко используемое во многих разделах математики. Поля составляют особый подкласс колец.

Поле может быть определено как множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - сложение и умножение, обе ассоциативные и коммутативные, связанные между собой законом дистрибутивности, т.е. для любых a, b, c из поля справедливо: a+b=b+a, ab=ba, (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc), (a+b)c=ac+bc.

Кроме того, в поле требуется существование нулевого элемента 0 (нуля), для которого 0  a  a, и для каждого элемента a противоположного элемента -a, то есть такого элемента, что a  (-a)  0, а также существование единичного элемента e (единицы), для которого ae  a, и для каждого ненулевого элемента a существование обратного элемента a^-1, т.е. такого элемента, что aa^-1  e. Отсюда следует, что в поле выполнимы операция вычитания, а также операция деления на ненулевой элемент. Таким образом, все элементы поля образуют абелево группу по сложению (аддитивная группа поля), а все ненулевые элементы - абелево группу по умножению (мультипликативная группа поля).

Примерами полей (относительно естественных операций сложения и умножения) являются: множество всех рациональных чисел Q, множество всех действительных чисел R, множество всех комплексных чисел C, множество всех чисел вида a + b?2, где a и b - рациональные числа, множество всех алгебраических чисел, множество всех рациональных функций от одного или нескольких переменных с действительными коэффициентами (а также с коэффициентами из произвольного поля). Множество элементов поля может быть конечным. Такие поля называют полями Галуа. Простейшие примеры конечных полей - поля вычетов кольца по простому модулю.