Понятие группы

Пусть задано некоторое (конечное или бесконечное) множество G, на котором определена операция умножения, т.е. определен закон, сопоставляющий любой паре a, b элементов из G некий элемент из G называемый произведением a и b и обозначаемый символом a∙b.

Операция умножения удовлетворяет следующим условиям:

1. Условие ассоциативности. Для любых трех элементов a, b и c множества G справедливо соотношение:

(ab)c=a(bc);

2. Условие существования нейтрального элемента. Среди элементов множества G имеется некоторый определенный элемент, называемый нейтральным элементом и обозначаемый символом 1, такой что:

a*1=1*a=a;

3. Условие существования обратного элемента к каждому данному элементу. К каждому данному элементу а множества G можно подобрать такой элемент b того же множества G, что:

ab=ba=1.

Пусть задана какая-нибудь группа G; тогда, если множество H, состоящее из некоторых элементов нашей группы G, образует группу, то группу H называется подгруппой группы G. Элемент b называется обратным к элементу а и обозначается а^-1.

Множество G с определенной в нем операцией умножения, удовлетворяющей только что перечисленным трем условиям, называется группой; сами эти условия называются аксиомами группы.

Операция умножения, удовлетворяющая аксиомам группы, иногда называется групповой операцией или групповым законом.

Пусть в группе G, кроме указанных выше трех аксиом, оказывается выполненным еще и следующее условие:

- Условие коммутативности:

ab=ba.

В этом случае группа G называется коммутативной или абелевой группой.

Группа называется конечной, если она состоит из конечного числа элементов; в противном случае она называетсябесконечной.

Число элементов конечной группы называется ее порядком.