Аксиоматические теории. Выводимость формул в исчислении высказываний

В литературе известен парадокс брадобрея, являющийся своеобразным вариантом парадокса Рассела, только без привлечения понятия множества. Одному солдату, парикмахеру по профессии, командир приказал брить тех и только тех солдат,которые сами не бреются. Солдат-брадобрей, выполняя приказ

командира, побрил тех солдат, которые сами не брились, и остановился перед вопросом: должен ли он брить самого себя? Если будет брить себя, то окажется среди тех, кто сам бреется. Но таких (согласно приказу) нельзя брить. Если не брить, то будет считаться, что он сам не бреется, а таких надо брить.

Открытие парадоксов поставило под сомнение вопрос о том, что теория множеств является надежным фундаментом математики, так как вполне возможно появление теорем, которые могут быть доказаны и столь же убедительно опровергнуты. Поэтому многие математики стали склоняться к мысли о необхо-

димости аксиоматизации теории множеств. Эта работа была проведена, в результате чего теорию множеств Кантора, построенную им на интуитивном уровне, стали называть наивной теорией множеств, чтобы отличать ее от той же теории, но построенной на аксиоматической основе.

В общем случае суть аксиоматического метода состоит вследующем. Всякий раздел науки характеризуется определенным множеством Q истинных утверждений. Некоторое подмножество P истинных утверждений из множества Q выбирается в качестве аксиом (считающихся истинными без доказательств),на основе которых средствами формальной логики выводятсят все остальные истинные утверждения множества Q. Поэтому иногда говорят, что «каждая аксиоматическая теория ″стоит на двух китах″»: 1) на множестве исходных истинных высказываний —постулатов или аксиом и множестве доказуемых высказываний, т.е. теорем, и 2) на логике, которая дает правила, по которым из аксиом выводятся теоремы»

Для математики и математической логики аксиоматический метод имеет важнейшее значение, так как позволяет строить непротиворечивые формальные системы.

Теорема дедукции дает возможность установить выводимость различных формул исчисления высказываний более простым путем, чем непосредственный вывод этих формул из аксиом с помощью правил вывода. С помощью теоремы дедукции выводятся основные правила исчисления высказываний:

1. Правило силлогизма. Если формулы () и () истинны, то формула () тоже истинна

2. Правило перестановки посылок. Если формула ( ()) истинна, то истинной является формула ( ())

3. Правило соединения посылок. Если истинной является формула (()), то истинной будет формула ()