Метод прогонки

Для решения систем A x = b с трехдиагональной матрицей наиболее часто применяется метод прогонки, являющийся адаптацией метода Гаусса к этому случаю.

Запишем систему уравнений

d₁x₁ + e₁x₂ = b₁
c₂x₁ + d₂x₂ + e₂x₃ = b₂
c₃x₂ + d₃x₃ + e₃x₄ = b₃
.........
c_n-1x_n-2 + d_n-1x_n-1 + e_n-1x_n = b_n-1
c_nx_n-1 + d_nx_n = b_n

в матричном виде: A x = b где

A=

Выпишем формулы метода прогонки в порядке их применения.

1. Прямой ход метода прогонки (вычисление вспомогательных величин):

1. Обратный ход метода прогонки (нахождение решения):

Метод прогонки можно применять, если нигде в формулах знаменатели не равны нулю. Для применимости формул метода прогонки достаточно выполнения условий диагонального преобладания у матрицы A, то есть

| d_i | ≥ | c _i | + | e_i |

причем хотя бы одно неравенство должно быть строгим.