Понятие о субстациональной производной в описании сложного движения. Подход Эйлера, Лагранжа

Субстанциональная производная (полная или индивидуальная производная).

Пусть f (x,y,z,t) – скалярная функция, описывающая некоторое свойство жидкости. Тогда ее субстанциональная производная определяется равенством

Субстанциональная производная выражает изменение свойств материальной точки по Лагранжу, т.е. в фиксированной материальной точке среды (ξ1, ξ2, ξ3) = const. При этом сама точка перемещается. Первое слагаемое справа выражает частную производную по времени, т.е. изменение свойства f в фиксированной точке пространства x, y, z – по Эйлеру. Последнее слагаемое означает конвективную производную, которая описывает изменение свойств в фиксированной точке пространства из-за того, что через эту точку протекает сплошная среда со скоростью v. Конвективная производная равна нулю в случае, когда-либо v=0 (нет течения), либо, когда функция f не зависит от координат.

Для описания течения сплошной среды, т.е. ее гидродинамики, нам надо знать скорость (3 компоненты), плотность, давление и температуру. Итого, 6 неизвестных скалярных функций. Замкнутая система уравнений гидродинамики должна содержать столько же уравнений, сколько и неизвестных. Пока получено только одно уравнение – это уравнение неразрывности.