Понятие о механизмах переноса импульса, тепла и массы, их математическая интерпретация

Механизм возникновения внутреннего трения меж­ду параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различными скоростями, заключается в том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, движущегося быстрее, уменьшается, движущегося медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, движущегося быстрее, и ускорению слоя, движущегося медленнее.
Согласно формуле (31.1), сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется закону Ньютона:
(48.5)
где h — динамическая вязкость (вязкость), d v/ d x — градиент скорости, показывающий быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению дви­жения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.
Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматри­вать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (48.5) можно пред­ставить в виде
(48.6)
где jp — плотность потока импульса — величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, — градиент скорости. Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки jр и противоположны).
Динамическая вязкость h численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле
(48.7)
Из сопоставления формул (48.1), (48.3) и (48.6), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были установлены задолго до того, как они были обоснованы и выведены из молекулярно-кинетической теории, позволившей установить, что внешнее сходство их математи­ческих выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений теплопровод­ности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.
Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетического смысла коэффициентов l, D и h. Выражения для коэффициентов переноса выводятся из кинетической теории. Они записаны без вывода, так как строгое рассмот­рение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависимости между l, D и h:

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.

Поток тепловой энергии возникает в среде в следствие наличия градиента температуры. При малых градиентах плотность потока теплоты Q, очевидно, из общих соображений разложения в ряд Тейлора пропорциональна первой степени градиента температуры dT/dx в направлении x ее изменения. В этом и состоит суть закона Фурье.

Получим уравнение распространения тепла из закона Фурье, для этого запишем закон Фурье в дифференциальной форме:

так как тепловая энергия единичного объема газа равна , то изменение тепловой энергии за единицу времени равно
Напишем уравнение теплового баланса, предполагая, что поток тепла направлен вдоль оси x:

отсюда

(1)

где

Уравнение (1) и есть уравнение теплопроводности. А коэффициент пропорциональности в нем - это выше упомянутый коэффициент температурапроводности. В трехмерной постановке уравнение (1) можно переписать с помощью оператора Лапласа:

На самом деле, это уравнение не совсем правильное, так как предполагает бесконечную скорость распространения тепла, однако в большинстве приложений она дает хорошие результаты.

Уравнение(1) относится к покоящейся жидкости. Если жидкость (или газ) движется, то в левой части уравнения (1) вместо частной производной следует ввести полную производную. При этом температура T меняется со временем не только из-за того, что в данной точке пространства имеет место такое изменение, но и из-за того, что при движении жидкости происходит смещение данного объема жидкости, и на его место приходит другой объем жидкости с другой температурой. Таким образом,