Экстремумы функций нескольких переменных

Точка , принадлежащая области определения функции , называется стационарной точкой функции, если в этой точке каждая из её частных производных равна нулю, т.е. ,…, или .

Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности выполняется неравенство ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка локального экстремума функции , дифференцируемой в точке , то - стационарная точка функции.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка дважды дифференцируемой в точке функции . Тогда, если при всевозможных наборах значений , не равных одновременно нулю:

1) , то в точке функция имеет максимум; 2) , то в точке функция имеет минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет экстремума.

Исследование знака сводится к исследованию знакоопределённости второго дифференциала, как квадратичной формы относительно переменных (например, с помощью критерия Сильвестра).

В частности, функция в стационарной точке , при условии , где , , : 1) имеет максимум, если и ; 2) имеет минимум, если и ; 3) не имеет экстремума, если .

В задачах 6.82-6.100 найти экстремумы следующих функций нескольких переменных:

6.82. 6.83. 6.84. 6.85.

6.86. 6.87.

6.88 (). 6.89

6.90. 6.91.

6.92. 6.93.

6.94. 6.95.

6.96.

6.97.

6.98.

6.99. 6.100.

Точка называется точкой условного минимума (максимума) функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек этой окрестности, удовлетворяющих уравнениям связи () выполняется неравенство (). Точки условного минимума и максимума функции называются точками условного экстремума, а значения функции в этих точках – условными экстремумами функции.

Задача нахождения условного экстремума сводится к нахождению обычного экстремума функции Лагранжа ,

где () –постоянные множители Лагранжа.

Необходимое условие условного экстремума. Если - точка условного экстремума функции при наличии уравнений связи (), то в точке выполняются условия

.

Решая данную систему, находят неизвестные координаты точки , в которой возможен условный экстремум и соответствующие ей значения множителей Лагранжа .

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения (например, с помощью критерия Сильвестра) знака второго дифференциала функции Лагранжа в точке при значениях , рассматриваемого как квадратичная форма относительно переменных при условии, что они связаны соотношениями: ().

В частности, для функции исследуется знак при условии .

Достаточное условие условного экстремума. Пусть - точка возможного условного экстремума функции , т.е. в этой точке выполнены необходимые условия условного экстремума. Тогда, если при всевозможных наборах значений , удовлетворяющих соотношениям () и не равных одновременно нулю:

1) , то в точке функция имеет условный максимум; 2) , то в точке функция имеет условный минимум; 3) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то в точке функция не имеет условного экстремума.

В задачах 6.101-6.108 найти условные экстремумы следующих функций нескольких переменных:

При.

При.

При.

При.

6.105 при .

При.

6.107 при .

6.108 при .

Если функция дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, то она достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой области или в стационарной точке, или в граничной точке области.

В задачах 6.109-6.111 найти наибольшее и наименьшее значения следующих функций в указанных областях:

6.109 а) ;

б) ;

В).

6.110 а) ;

б) ;

В).

6.111 а) ;

б) ;

В).

6.112 Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если:

а) площадь его поверхности равна S;

б ) сумма длин его ребер равна a;

в) длина его диагонали равна ;

г) он вписан в полусферу радиуса R..

6.113 Найти наименьшую площадь поверхности, которую может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен V.

6.114 Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра, площадь поверхность которого (без крышки) равна S.

6.115 Определить наибольшую вместимость конической воронки, площадь поверхности которой равна S.

6.116. Найти точку , для которой сумма квадратов расстояний от прямых , , наименьшая.

6.117 В плоскости с вершинами , , найти точку сумма квадратов расстояний от которой до вершин треугольника является наименьшей.

6.118 Цены двух видов товара и равны соответственно и ден.ед. за 1ед. товара Найти при каких объёмах и продаж этих товаров прибыль будет максимальной, если функция издержек имеет следующий вид:

а) , , ;

б) , , .

6.119 Найти величины спроса и на два вида товара при ценах на них соответственно и , если потребитель при бюджете стремится максимизировать функцию полезности, которая имеет вид: .

6.120 Цены двух видов ресурсов и , используемых для производства некоторой продукции равны соответственно и ден.ед. в расчёте на 1ед. ресурса. Найти оптимальное распределение объёмов ресурсов , если производитель при бюджете стремится максимизировать функцию выпуска продукции, которая имеет вид .