Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется разность .
Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от .
Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .
Функция , обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.
Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).
Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .
Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,
а для функции - формулы: ,
.
Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .
Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.
В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
6.41. 6.42. 6.43.
6.44. 6.45. 6.46.
6.47 Найти значение полного дифференциала функции при
6.48 Найти значение полного дифференциала функции при
Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: .
В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.
6.49 Вычислить приближенно:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;
Ж); з).
6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?
6.51 Центральный угол сектора увеличился на . На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора , чтобы площадь сектора осталась без изменения?
6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если увеличится на , увеличится на , уменьшится на .
6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R =2.5 м, высоту Н =4м и толщину стенок l =1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.
6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, r =10 см и высота h =30 см. Как приближенно изменится объем конуса , если R увеличить на 2 мм, r увеличить на 3 мм, а h уменьшить на 1 мм?
6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:
А); б).
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 462 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!