Некоторые приложения частных производных

Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

,

а уравнение нормали – вид .

В случае задания поверхности неявным уравнением : - уравнение касательной плоскости к поверхности в точке и

- уравнение нормали.

6.72 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ; б) ;

в) ;

г)

6.73 Написать уравнения касательной плоскости и нормали в точке к следующим поверхностям:

а) ;

б) ; в) ;

Г).

6.74 Для поверхности найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости

6.75 Для поверхности найти уравнение нормали, параллельной прямой

Множество точек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками и , оно содержит и отрезок .

Функция , определённая на выпуклом множестве называется выпуклой вверх, если для всех точек , где , и для любого выполняется неравенство и выпуклой вниз, если .

Матрица называется матрицей Гессе функции в точке .

Дважды дифференцируемая на выпуклом множестве функция является на этом множестве: 1) выпуклой вниз, если при всех ; 2) выпуклой вверх, если при всех . Если на множестве матрица Гессе функции знакопеременна, то на этом множестве выпуклой не является.

Знакоопределённость матрицы Гессе устанавливают, используя критерий Сильвестра знакоопределённости матриц квадратичных форм.

6.76. Исследовать следующие функции на выпуклость:

а) ; б) ;

В); г).

Частные эластичности функции вычисляются по формулам: , . Частные эластичности , являются мерами реагирования переменной на изменение переменных и , и показывают приближённый процентный прирост при изменении и на один процент, соответственно.

Под производственной функцией понимается функция , независимые переменные которой имеют смысл объёмов используемых ресурсов, а зависимая переменная – объёма выпускаемой продукции.

Предельной по переменной для называется величина , средней – величина . Буква - сокращение от слова (предельный), буква - сокращение от слова (средний).

Производственной функцией Кобба-Дугласа называется функция вида , где - некоторые постоянные, - объём производственных фондов, - объём трудовых ресурсов, - объём выпускаемой продукции.

6.77. Найти частные эластичности и функций в указанных точках :

а) , ; б) , .

6.78 Для заданных значений и найти: а) среднюю и предельную производительности труда; б) среднюю и предельную фондоотдачу; в) эластичности выпуска по труду и по фондам, если производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:

1) , , ;

2) , , .