Множества и подмножества

Множеством называется совокупность определенных вполне различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое.

Под множеством понимается некоторая совокупность объектов, объединенных по какому-то общему признаку.

Отдельные объекты, из которых состоит множество, называются элементами множества.

Множество обозначают символом A = { x }, где x - общее наименование элементов множества A. Часто множество записывают в виде A = { a, b, c,...}, где в фигурных скобках указаны элементы множества A. Будем пользоваться обозначениями:

N - множество всех натуральных чисел;
Z - множество всех целых чисел;
Q - множество всех рациональных чисел;
R - множество всех действительных чисел;
C - множество всех комплексных чисел;
Z₀ - множество всех неотрицательных целых чисел.

Запись (или ) означает, что элемент a принадлежит множеству A.

Запись (или ) означает, что элемент a не принадлежит множеству A.

Подмно́жество в теории множеств - это понятие части множества.

Множество B, все элементы которого принадлежат множеству A, называется подмножеством множества A, и при этом записывают (или )

Всегда , так как каждый элемент множества, естественно, принадлежит A. Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента, обозначим символом . Любое множество содержит пустое множество в качестве своего подмножества.

Если , то A и B называются равными множествами, при этом записывают A = B.

5. Операции над множествами: объединение множеств, свойства этой операции.

Объединение множеств А и В — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В, т.е. принадлежат А или принадлежат В.

объединением множеств A и B называется множество

6. Операции над множествами: пересечение множеств, свойства этой операции.

Пересечение множеств А и В — это множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Пересечением подмножеств A и B называется множество

7. Элементы комбинаторики: Перестановки.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы: пусть имеется n попарно непересекающихся множеств A₁, A₂, …, A_n, содержащих m₁, m₂, …, m_n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать один элемент из всех этих множеств, равно m₁ + m₂ + … + m_n.

Пример. Если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу с первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения: пусть имеется n множеств A ₁, A ₂, …, A _n содержащих m ₁, m ₂, …, m _n элементов соответственно. Число способов, которыми можно выбрать по одному элементу из каждого множества, т. е. построить кортеж (а₁, а₂,..., а_n), где а _i Î А _i1 (i = 1, 2, …, n), равно m₁ · m₂ · … · m_n.

Пример. Если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Факториал. Так называют часто встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor - «сомножитель». Обозначается она . Для каждого целого положительного числа функция равна произведению всех целых чисел от 1 до . Например: . Для удобства полагают по определению . Особенно часто встречается факториал в комбинаторике. Например, количество способов выстроить школьников в одну шеренгу равняется

Определение. Если в некотором множестве переставлять местами элементы, оставляя неизменным их количество, то каждая полученная таким образом комбинация называется перестановкой.

Общее число перестановок из m элементов обозначается P_m и вычисляется по формуле:

8. Элементы комбинаторики: Сочетания.

Определение. Если из т элементов составлять группы по п элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группе, то получившиеся при этом комбинации называются сочетаниями из т элементов по п.

Общее число сочетаний находится по формуле:

9. Элементы комбинаторики: Размещения.