Теорема доказана. Пример: Рассмотрим последовательность {sin n}

Пример: Рассмотрим последовательность {sin n }. Докажем, что эта последовательность расходится. Для этого достаточно доказать, что она не является фундаментальной. Предположим противное: допустим, что {sin n } - фундаментальная. Тогда если " e > 0 $ N, " n > N и " натурального p: ½ x _n+p- x _n½= ½sin(n + p) - sin n ½< e. Возьмем p = 2.

½sin(n +2) - sin n ½< 2sin 1×½cos(n +1)½< e.

" e > 0 $ N, " n > N: ½cos(n +1)½< .

=> {cos n } - бесконечно малая, то есть cos n ® 0 при n ® ¥.

cos(n +1) = cos n ×cos 1- sin n ×sin 1.

sin n = (cos n ×cos 1 - cos(n +1)) ® 0 при n ® ¥.

cos n ® и sin n ® 0 при n ® ¥. Но это противоречит тому, что cos² n + sin² n =1.

Полученное противоречие доказывает, что последовательность {sin n } расходится.