Теорема о стягивающейся системе сегментов

Пусть дана последовательность сегментов [ a ₁ , b ₁], [ a ₂ , b ₂], …, [ a _n, b _n], … - такая, что каждый следующий сегмент содержится в предыдущем.

(здесь рисунок)

" n: a _n £ a _n+1< b _n+1£ b _n, (1)

и пусть длина n -го сегмента b _n - a _n® 0 при n ® ¥. Такую последовательность сегментов назовем стягивающейся системой сегментов.

Теорема 6.1. Существует, и притом только одна, точка, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.

Доказательство: Из неравенств (1) следует: { a _n} - неубывающая последовательность, { b _n} - невозрастающая. Кроме того, обе эти последовательности ограничены, так как все их члены лежат на сегменте [ a, b ]. Следовательно, эти последовательности сходятся. Так как b _n - a _n® 0 при n ® ¥, эти последовательности имеют один и тот же предел. lim a _n = lim b _n = c. Так как { a _n} - неубывающая последовательность, a _n< c (" n). " n: a _n £ c £ b _n , то есть c Î [ a _n, b _n] " n. Существование точки, принадлежащей всем сегментам стягивающейся системы, доказано. Докажем теперь, что такая точка только одна. Предположим, существует другая точка d Î [ a _n, b _n] " n. Пусть для определенности d > c.

(здесь рисунок)

Но в этом случае b _n - a _n ³ d - c > 0, lim (b _n - a _n) = d - c > 0, что противоречит условию lim (b _n - a _n) = 0. Итак, точка с - единственная, принадлежащая всем сегментам стягивающейся системы.