Необходимость доказана

Достаточность. Дано: Последовательность { x _n} - фундаментальная. Требуется доказать: { x _n} сходится. По лемме 2, последовательность { x _n} ограничена, следовательно, можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть = a. Докажем, что = a. Зададим произвольное e > 0. Так как подпоследовательность сходится к a, начиная с некоторого номера N ₁ все члены Î { - окрестности точки a }, а так как последовательность { x _n} - фундаментальная, то начиная с некоторого номера N ₂ все члены x _n отстоят от членов меньше, чем на . Следовательно, начиная с номера N = max (N ₁, N ₂) все члены последовательности x _n Î {e- окрестности точки a }, а это и означает, что = a, что и требовалось доказать.