Необходимость доказана. Достаточность. Дано: f(x) удовлетворяет в точке a условию Коши

Достаточность. Дано: f (x) удовлетворяет в точке a условию Коши. Требуется доказать: $ f (x). Согласно определению предела функции по Гейне, нужно доказать, что " { x _n} ® a (x _n ¹ a) { f (x _n)} сход., причем сходится к одному и тому же числу для всех { x _n} ® a (x _n ¹ a). Рассмотрим произвольную последовательность { x _n} ® a (x _n ¹ a). Докажем сначала, что последовательность { f (x _n)} - фундаментальная. Зададим произвольное e > 0. Согласно условию (1), $ d > 0, " x ' и x '', 0 <½ x ' - a ½ < d, 0 <½ x ''- a ½ < d: ½ f (x ') - f (x '')½ < e. (2). В свою очередь, так как { x _n} ® a и x _n ¹ a, то $ N, " n > N: 0 < ½ x _n - a ½< d, " m > N: 0 < ½ x _m - a ½< d. (3). Из (2) и (3) следует, что " n > N и " m > N: ½ f (x _n) - f (x_m)½ < e. А это и означает по определению, что последовательность { f (x _n)} - фундаментальная. Следовательно, она сходится. Итак, мы доказали, что " { x _n} ® a (x _n ¹ a): { f (x _n)} сходится. Остается доказать, что для всех таких последовательностей { x _n}: { f (x _n)} сходится к одному и тому же числу. Пусть для { x _n} ® a (x _n ¹ a): { f (x _n)} ® b, а для { x _n'} ® a (x _n' ¹ a): { f (x _n')} ® b '. Нужно доказать, что b ' = b. Составим посл. { x _n''} = x ₁, x ₁', x ₂, x ₂', …, x _n, x _n'', …

{ x _n''} ® a (x _n'' ¹ a).

Согласно доказанному, { f (x _n'')} ® b '', но { f (x _n)} и { f (x _n')} - подпоследовательности последовательности { f (x _n'')}, следовательно, эти последовательности сходятся к b '', а это и означает, что b = b ' = b '', что и требовалось доказать.

Теорема доказана.