Факторизация энергетического спектра

Синтезировать физически реализуемую устойчивую ЛИС-систему, которая дает на выходе сигнал с заданной АКФ, в то время как на входе будет белый шум.

, , откуда , , .

Решение сводится к тому, чтобы разложить на такие множители. Процедуру разложения энергетического спектра на такие множители и называют факторизацией.

Требования:

1. должна соответствовать физически реализуемой системе, то есть должна быть дробно-рациональной функцией по отрицательным степеням

2. должна соответствовать устойчивой системе, то есть иметь полюса, лежащие внутри единичной окружности.

Известно, что если действительно спектр мощности, то , , то подобное разложение (возможно) существует всегда.

, где и . Рассмотрим многочлен в знаменателе. . Найдем полюсы , – всего корней. Если – корень уравнения, то – тоже корень. Если , то , следовательно, на единичной окружности корней нет. , – те, которые лежат внутри единичной окружности. . Введем обозначение и отнесем в его первое произведение и домножим на .

, откуда .

Аналогично с : , где , – корни .

Уравнение имеет право иметь корни на единичной окружности и не требует, чтобы . Но условие: , – не должно быть парных корней (типа и ).

Пример:

– нормально, – нормально, – нельзя.

, где – дробно-рациональная функция от , все полюсы которой лежат внутри единичной окружности.

Можем взять , потому что характеристика Спроц. Не зависит от сдвига.

Если на входе , а на выходе АКФ , , , , , теперь важно, чтобы корни удовлетворяли требованиям, предъявляемые .

Если уравнение имеет корни, лежащие на единичной окружности и они не компенсируются корнями уравнения , то система получится неустойчивой.