Стационарные случайные последовательности. Их характеристики

Опр. Случайной называется последовательность, элементы которой являются случайными величинами.

Пример: процесс Бернулли.

Все внешние сигналы – случайные (входной, выходной сигнал), а внутренние характеристики – детерминированные.

, . Все случайные последовательности делят на два класса:

· Дискретные – их значения описываются при помощи дискретных функций; принимают значения из конечного набора

· Непрерывные – случайные величины принимают значения из интервала

Если случайная последовательность дискретная, то она полностью описывается своим -мерным распределением вероятности .

Если случайная последовательность непрерывная, то для ее описания используют плотность вероятности .

1) Каждый отсчет последовательности может быть описан своей одномерной плотностью распределения . , , ,

2)

3) Дисперсия ,

4) Автокорреляционная функция (АКФ):

5) Взаимнокорреляционная функция (ВКФ):

Опр. Последовательность называется стационарной в широком смысле, если выполняются следующие условия:

Если – СтШС, то

Свойства характеристик стационарной последовательности:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

Примеры:

1. Дискретный белый шум. Последовательностьнезависимых случайных величин

2. Последовательность с экспоненциальной АКФ

, где – коэффициент корреляции, .

, . Эти -преобразования сходятся на единичной окружности, поэтому от них можно перейти к спектрам: , – спектры мощности или энергетические спектры, , , следовательно, характеризует распределение мощности случайной стационарной последовательности по частоте на интеграле от до или на любом другом интеграле длины .

Свойства спектров мощности

1)

2)

3)

4)

5)