Сформулируйте математическую задачу обтекания сферы идеальной несжимаемой жидкостью, если ее движение безвихревое

Обтекание сферической частицы потоком идеальной несжимаемой жидкостью (Re>>1)

Шарик радиусом r ₀ движется в безграничной жидкости (рис 4.1). Предполагаем, что движение жидкости безвихревое и осесимметричное. В этом случае направление вектора скорости шара и скорости жидкости на бесконечности совпадают (или противоположны). Введем в рассмотрение декартову систему координат (x,y,z) так, чтобы в некоторый момент времени начало системы координат совпало с центром шарика, а его скорость оказалась направлена вдоль оси 0z.

Так как течение безвихревое, решение задачи о скорости движения шара сводится к нахождению потенциала скорости . Потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа

(4.1)

Граничные условия на поверхности шара

при (4.2)

– внешняя нормаль к поверхности шара

– проекция скорости шара на

внешнюю нормаль

Граничные условия на бесконечности

; ; при (4.3)

При решении задачи о движении шара удобно использовать сферическую систему координат . Вследствие осевой симметрии течения потенциал скорости не зависит от азимутального угла , т.е. . Поэтому уравнение Лапласа в сферической системе координат принимает вид

(4.4)

5-3 На поверхности частицы имеются две критические точки. Что это за точки и где они располагаются?

На рисунке 4.2 представлено распределение линий тока, омывающих шарик жидкости, при условии, когда шарик неподвижен и жидкость его омывает (рис 4.2) и когда шарик движется в неподвижной жидкости (рис 4.3).

На поверхности шара:

; при (4.19)

Точки А и В на поверхности шара, в которых и , являются критическими.

В этих точках = 0. Максимальное значение вектора скорости на поверхности шара () достигается при и .

5-4 В каких точках скорость потока идеальной жидкости, обтекающего сферическую частицу, имеет максимальное значение и чему она равна?

На рисунке 4.2 представлено распределение линий тока, омывающих шарик жидкости, при условии, когда шарик неподвижен и жидкость его омывает.

На поверхности шара:

; при

Точки А и В на поверхности шара, в которых и , являются критическими. В этих точках = 0. Максимальное значение вектора скорости на поверхности шара () достигается при и .

5-5. Может ли скорость потока идеальной жидкости при обтекании сферической частицы быть больше скорости этой жидкости на бесконечном удалении от частицы?

На рисунке 4.2 представлено распределение линий тока, омывающих шарик жидкости, при условии, когда шарик неподвижен и жидкость его омывает.

На поверхности шара: ; при (4.19)

Точки А и В на поверхности шара, в которых и , являются критическими. В этих точках = 0. Максимальное значение вектора скорости на поверхности шара () достигается при и .

5-6 Как изменяется давление в потоке идеальной жидкости при симметричном омывании сферической частицы?

Распределение давления на поверхности шара получим по теореме Бернулли:

или (4.20)

Подставляя (4.19) в (4.20), находим распределение давления на поверхности шара:

при (4.21)

Из этой формулы следует, что распределение давления симметрично относительно плоскостей ; , т.к. . Поэтому главный вектор сил давления, действующих на сферу со стороны жидкости, равен нулю. Этот результат известен, как парадокс Даламбера для сферы, обтекаемой потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости.

5-7 В чем заключается парадокс Деламбера? Как он объясняется?

распределение давления на поверхности шара:

при (4.21)

Из этой формулы следует, что распределение давления симметрично относительно плоскостей ; , т.к. . Поэтому главный вектор сил давления, действующих на сферу со стороны жидкости, равен нулю. Этот результат известен, как парадокс Даламбера для сферы, обтекаемой потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости. Парадокс объясняется тем, что при движении шара с постоянной скоростью безотрывное потенциальное движение жидкости вокруг сферы не наблюдается. С поверхности сферы сходят вихри и продольная симметрия линий тока нарушается. В результате появляется ассимметрия в распределении давления, что приводит к возникновению силы сопротивления, действующей на шар. Если шар начинает двигаться из состояния покоя в неподвижной жидкости, то в моменты времени, близкие к началу движения, наблюдается продольная симметрия картины линий тока.

Течение жидкости приближенно можно считать потенциальным также, если шар совершает колебательные движения относительно стационарного среднего положения, причем амплитуда колебаний мала по сравнению с диаметром сферы. В этих случаях на шар не действует сила сопротивления со стороны жидкости.

5-8 Чему равна масса жидкости, присоединенная к движущейся частице?

Обтекание сферической частицы потоком идеальной несжимаемой жидкости (Re<<1)

Рассмотрим случай, когда шар движется в жидкости с переменной скоростью под действием некоторой силы .

Тогда полная кинетическая энергия системы, образованной шаром и жидкостью, вовлеченной им в движение, равна:

(4.24)

где – присоединенная к шару масса жидкости

– масса шара

Следует отметить, что присоединенная к шару масса жидкости не равна массе жидкости, которую сфера вытесняет, проходя через слой. Масса жидкости, вытесненной шаром, равна

Следовательно, движение шара в невязкой жидкости происходит так же, как если бы жидкость отсутствовала, но масса шара увеличилась на величину, равную половине массы вытесненной жидкости.

5-9 В процессе движения в потоке жидкости сферическая частица вытесняет часть жидкости и согласно закону сохранения импульса вовлекает часть жидкости. Как соотносятся между собой массы вытесняемой и присоединенной частей жидкости?

Когда шар движется в жидкости с переменной скоростью под действием некоторой силы , полная кинетическая энергия системы, образованной шаром и жидкостью, вовлеченной им в движение, равна:

(4.24)

где – присоединенная к шару масса жидкости

– масса шара

Следует отметить, что присоединенная к шару масса жидкости не равна массе жидкости, которую сфера вытесняет, проходя через слой. Масса жидкости, вытесненной шаром, равна

Следовательно, движение шара в невязкой жидкости происходит так же, как если бы жидкость отсутствовала, но масса шара увеличилась на величину, равную половине массы вытесненной жидкости.

5-10 Составьте уравнение движения сферической частицы в неподвижной идеальной жидкости с учетом присоединенной массы?

Если частица движется под действием силы (F) с переменной скоростью, то на основании закона сохранения энергии имеем , из которого можно получить уравнение движения частицы: - это уравнение движения частицы под действием силы F в идеальной жидкости. Где m₁ – масса частицы, m₀ – масса присоединенная масса жидкости.

где – присоединенная к шару масса жидкости

5-12 Как выглядит уравнение движения сферической частицы в потоке идеальной жидкости, если движение происходит под действием силы тяжести?

Уравнение движения шара под действием силы при условии, что движение жидкости безвихревое, имеет вид

, (4.26)

– масса шара

Следует отметить, что присоединенная к шару масса жидкости не равна массе жидкости, которую сфера вытесняет, проходя через слой. Масса жидкости, вытесненной шаром, равна

откуда находим

(4.27)

Эта формула справедлива для моментов времени, близких к началу движения, если шар начинает двигаться из состояния покоя в неподвижной жидкости. Как следует из (4.27), при жидкость мало влияет на начальное ускорение шара. При из (4.27) получаем

(5.36)

Условие (5.36) выполняется, например, при всплытии сферического газового пузырька в жидкости.

5-13 Чему равно ускорение в начальный момент времени капли ртути, начинающей падать в воздухе? Чему равно начальное ускорение воздушного пузырька, начинающего всплывать в слое ртути?

Если единственной силой, действующей на жидкость является сила тяжести, то учитывая, что со стороны жидкости в этом случае на частицу будет действовать выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу жидкости, вытесненной частицей. Уравнение сферы, движущейся под действием веса имеет вид:

(35)

если m1>>m0 (ртуть в воде)

du/dt =g

а если m1<<m0 (вода в слое ртути)

du/dt = -2g

6-14 Запишите уравнение Навье-Стокса в векторной форме для случая движения сферической твердой частицы при Re<<1.

При Re<<1 инерционными членами в уравнении Навье-Стокса мы пренебрегаем (исключаем конвективную составляющую полной производной скорости по времени) и оно принимает вид:

Последнее слагаемое в правой части уравнения отсутствует, т.к. жидкость принята несжимаемой.

6-15 Как необходимо расположить сферическую систему координат, чтобы обтекание сферической частицы было симметричным?

Чтобы обтекание сферической частицы потоком было симметричным, начало координат необходимо поместить в центр частицы.

6-16 Сформулируйте ГУ для уравнения Стокса (омывание твердой сферической частицы потоком в ползущем режиме Re<<1)

При Re<<1 инерционными членами в уравнении Навье-Стокса можно пренебречь, и оно принимает вид:

(6.1)

Здесь мы предположили, что внешняя массовая сила, потенциальна и ее можно включить в выражение (6.1) вместе с уравнением неразрывности

(6.2)

полностью описывает движение жидкости. Отметим, что в отличии от уравнения Навье-Стокса уравнение (6.1) линейно. Уравнение (6.1) называют уравнением Стокса.

сформулируем граничные условия

На поверхности частицы должно выполняться условие прилипания:

при (6.3)

Условия, на бесконечности заключаются в том, что поток жидкости вдали от частицы является равномерным:

; при (6.4)

6-17 Сила, действующая на частицу со стороны несущей среды, выражается обычно через коэффициент сопротивления Сд (Сх). Что это за величина?

Общепринято выражать силы, действующие со стороны жидкости на движущиеся в ней тела, через безразмерный коэффициент сопротивления или , определяемый, как отношение силы, действующей на тело, к и к площади тела в проекции на плоскость, нормальную вектору скорости (для сферы эта площадь равна ). В случае твердой сферической частицы, движущейся в жидкости при малых значениях критерия Рейнольдса коэффициент сопротивления рассчитывается по формуле

(6.31)

где

6-18 Чему равен коэффициент сопротивления для твердой частицы, движущейся в жидкости при Re<<1?

Общепринято выражать силы, действующие со стороны жидкости на движущиеся в ней тела, через безразмерный коэффициент сопротивления или , определяемый, как отношение силы, действующей на тело, к и к площади тела в проекции на плоскость, нормальную вектору скорости (для сферы эта площадь равна ). В случае твердой сферической частицы, движущейся в жидкости при малых значениях критерия Рейнольдса коэффициент сопротивления рассчитывается по формуле

(6.31)

где

6-20 Чему равна сила сопротивления движению твердой частицы в жидкости при Re<<1?

Сила, действующая на частичку со стороны потока жидкости, представляет собой интеграл по поверхности сферы:

(6.28)

Здесь, величины и вычисляются на поверхности частицы, т.е. при при . Подставляя и

при и вычисляя интеграл, найдем

(6.29)

Для твердой сферической частицы и поэтому окончательно получаем следующую формулу:

(6.30)

Формула (6.30) обычно называется законом Стокса для сопротивления движущейся сферической частички.

Обычно силу сопротивления, действующую со стороны жидкости на движущееся в ней тело, принято выражать через безразмерный коэффициент сопротивления.

В случае твердой сферической частицы, движущейся в жидкости при малых значениях критерия Рейнольдса коэффициент сопротивления рассчитывается по формуле

(6.31)

где

6-21 Напишите формулу Стокса, что она выражает?

Здесь мы предположили, что внешняя мас. сила потенциальна и ее можно включить в выражение силы давления. Ур. Стокса с уравнением неразрывности полностью описывает движение жидкости. Отметим, что в отличии от уравнения Навье-Стокса уравнение Стокса линейно.

6-22 Составьте математическую модель процесса обтекания сферической капли или пузырька потоком вязкой жидкости при условии Re<<1. Изложите поэтапно методологию построения модели.

Рассмотрим установившееся движение капли в другой жидкости. Предполагаем, что две жидкости не смешиваются и что поверхностное натяжение на границе раздела фаз достаточно велико, чтобы сохранить сферическую форму капли. Сферическая форма сохраняется, если движение достаточно медленное или если капля достаточно мала.

Предполагаем, что значения критерия Рейнольдса для движения жидкостей как вне, так и внутри капли будет описываться при помощи уравнения

(7.1)

Обозначим через радиус капли и введем связанную с каплей сферическую систему координат, центр которой совпадает с центром сферы, а полярная ось имеет направление, противоположное направлению вектора скорости движения капли. В этой системе координат граничные условия на бесконечности имеют вид:

при (7.2)

где и – скорость движения капли

На поверхности капли должны обращаться в нуль радиальные компоненты скорости жидкости (условие непроницаемости поверхности раздела). Из этого следует, что

при (7.3)

при (7.4)

Из условия отсутствия проскальзывания следует, что на поверхности раздела непрерывна тангенциальная составляющая векторов скоростей жидкости снаружи и внутри капли:

при (7.5)

Кроме того, на границе раздела должно оставаться непрерывным касательное напряжение, т.е.

при (7.6)

С учетом (7.3) и (7.4) условие (7.6) преобразовывается к виду

при (7.7)

Сформулированных граничных условий достаточно для определения функций тока и . Для нахождения этих функций воспользуемся решением уравнения (7.1), найденным на прошлой лекции (формулы 6.11 и 6.13).

(6.11)

(6.13)

В результате получим:

(7.8)

(7.9)

Условие (7.2) дает:

; при (7.10)

Поскольку компоненты скорости жидкости не могут принимать бесконечные значения в центре капли, будем иметь:

при ; (7.11)

Оставшиеся константы уравнений (7.8) и (7.9), а именно ; ; ; , найдем при помощи граничных условий (7.3) ÷ (7.7). Подставляя в эти условия выражения (7.8) и (7.9) для функций тока получим систему алгебраических уравнений, имеющую следующее решение:

; (7.12)

;

Таким образом

(7.13)

Силу сопротивления, действующую на каплю со стороны потока жидкости, вычислим при помощи формулы (6.29):

(6.29)

Заменяя в ней на и на :

(7.14)

Определим скорость установившегося движения капли в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Как и при вычислении скорости установившегося движения твердой частицы приравниваем силу сопротивления силе тяжести с учетом силы Архимеда.

В результате получим

(7.15)

Задача о движении капли в жидкости впервые рассматривалась Адамаром и независимо от него Рыбчинским. Поэтому формула (7.15) носит название формулы Рыбчинского-Адамара. В пределе при , формулы (7.14) и (7.15) переходят в формулы (6.30) и (6.32) соответственно (случай твердой сферической частицы).

Полученные формулы можно использовать и для описания движения в жидкости сферических газовых пузырьков при малых значениях числа Рейнольдса. В этом случае и . Следовательно, скорость всплытия сферического газового пузыря под действием выталкивающей силы равна

,

а сила сопротивления, действующая на газовый пузырь, равна

В заключение представим выражения для расчета коэффициентов сопротивления при движении капель и пузырьков в потоке с для сферической капли.

где – относительная вязкость для сферического пузыря

6-23 Что такое коэффициент сопротивления частицы в двухфазном потоке? Как он рассчитывается дя различных двухфазных систем?

Общепринято выражать силы, действующие со стороны жидкости на движущиеся в ней тела, через безразмерный коэффициент сопротивления или , определяемый, как отношение силы, действующей на тело, к и к площади тела в проекции на плоскость, нормальную вектору скорости (для сферы эта площадь равна ).

В случае твердой сферической частицы, движущейся в жидкости при малых значениях критерия Рейнольдса коэффициент сопротивления рассчитывается по формуле

(6.31)

где

(если , значит в качестве характерного размера взят радиус)

Выражения для расчета коэффициентов сопротивления при движении капель и пузырьков в потоке при для сферической капли.

где – относительная вязкость для сферического пузыря

6-24 Выведите формулы для расчета скорости установившегося движения капли, пузырька и твердой частицы. Почему твердая частица движется в сплошной среде медленнее, чем капля и пузырек?

1)Обтекание твердой сферической частицы при Re<<1

Вследствие симметрии течения, направление силы, действующей со стороны жидкости на частицу, совпадает с направлением скорости жидкости на бесконечности. Проекция на данное направление силы, действующей со стороны потока жидкости на единицу поверхности частицы (напряжение внешней поверхностной силы), равна . Необходимо получить формулы для расчета нормальных и касательных напряжений, действующих на элемент поверхности частицы.

Нормальная составляющая напряжения поверхностной силы равна

(6.25)

Выражение для тангенциальной составляющей внешней поверхностной силы в сферической системе координат имеет вид:

(6.27)

Сила, действующая на частичку со стороны потока жидкости, представляет собой интеграл по поверхности сферы:

(6.28)

Здесь, величины и вычисляются на поверхности частицы, т.е. при при . Подставляя (6.25) и (6.27) в (6.28) при и вычисляя интеграл, найдем

(6.29)

Для твердой сферической частицы и поэтому окончательно получаем следующую формулу:

(6.30)

Формула (6.30) обычно называется законом Стокса для сопротивления движущейся сферической частички.

Если твердая частица движется в жидкости под действием силы тяжести с некоторой скоростью и, то при достаточно малых значениях и сила сопротивления оказывается меньшей, чем сила тяжести (с учетом выталкивающей силы Архимеда). В этом случае частица будет двигаться ускоренно. При увеличении скорости частицы будет увеличиваться сила сопротивления, и при некотором значении и _кр сила сопротивления уравновесит силу тяжести. При этом условии твердая частица будет двигаться с постоянной скоростью, которая называется установившейся (предельной) скоростью падения. При эту скорость можно вычислить следующим образом.

Приравнивая силу, действующую на частицу со стороны жидкости, силе тяжести с учетом силы Архимеда. В результате получим уравнение для определения и:

или

(6.32)

2)Обтекание капли при Re<<1

Рассмотрим установившееся движение капли в другой жидкости.

Силу сопротивления, действующую на каплю со стороны потока жидкости, вычислим при помощи формулы (6.29):

(6.29)

Заменяя в ней на и на :

(7.14)

где

Определим скорость установившегося движения капли в вязкой жидкости под действием силы тяжести. Как и при вычислении скорости установившегося движения твердой частицы приравниваем силу сопротивления силе тяжести с учетом силы Архимеда.

В результате получим

- формула Рыбчинского-Адамара (7.15)

В пределе при , формулы (7.14) и (7.15) переходят в формулы (6.30) и (6.32) соответственно (случай твердой сферической частицы).

Полученные формулы можно использовать и для описания движения в жидкости сферических газовых пузырьков при малых значениях числа Рейнольдса. В этом случае и . Следовательно, скорость всплытия сферического газового пузыря под действием выталкивающей силы равна

,

6-25 Когда можно считать, что результирующая сила межфазного взаимодействия равна произведению результирующей силы воздействия сплошной среды на частицу, умноженной на число частиц в контрольном объеме?

Если объемная концентрация дисперсных частиц очень мала, взаимодействие между частицами отсутствует. В этом случае межфазная сила (сила, действующая на дисперсные частицы, заключенные в единице объема, со стороны сплошной среды) равна произведению силы сопротивления, действующей на одиночную частицу, на число частиц в единице объема. Поэтому при æ для вычисления межфазной силы можно использовать формулы, справедливые для случая омывания одиночной частицы потоком, которые мы получили ранее.

В случаях конечного значения объемной концентрации (æ ) для расчета межфазной силы используется приближенный подход – так называемая ячеечная модель.

6-26 Когда для изучения гидродинамики многофазных потоков используют ячеечную модель?

В случаях конечного значения объемной концентрации (æ ) для расчета межфазной силы используется приближенный подход – так называемая ячеечная модель.

В рамках этой модели предполагается, что вся дисперсная система может быть разделена на одинаковые ячейки. В центре каждой ячейки, форму которой принимают сферической, располагается одна частица, размер ячейки зависит от размера частиц и их концентрации.

Будем предполагать, что все частицы имеют одинаковый размер и являются сферическими.

Изложите физическое содержание ячеечной модели и объясните, каким образом эта модель помогает решить гидродинамическую задачу дисперсного потока.

В технологических процессах металлургии в сплошной среде обычно находится большое количество дисперсных включений – твердых частиц, жидких капель или газовых пузырей.

Для расчета подобных аппаратов и процессов переноса, протекающих в них, необходимо располагать решением задачи о взаимодействии находящихся в аппарате дисперсных частиц с потоком жидкости или газа. Точное решение такой задачи не представляется возможным, т.к. точное расположение дисперсных частиц в потоке или слое никогда не известно. Если дисперсные частицы могут перемещаться, то неизвестны также скорость их поступательного и вращательного движения. В связи с этим для описания движения фаз многофазной системы необходимо использовать величины, осредненные по некоторому элементарному объему, содержащему достаточно большое количество дисперсных частиц, но малому сравнению с масштабом, на котором осредненные величины системы существенно изменяются. Такими осредненными величинами являются объемными величинами являются объемные концентрации фаз, осредненные по элементарному объему скорости фаз, сила межфазного взаимодействия и т.п.

Если объемная концентрация дисперсных частиц очень мала, взаимодействие между частицами отсутствует. В этом случае межфазная сила (сила, действующая на дисперсные частицы, заключенные в единице объема, со стороны сплошной среды) равна произведению силы сопротивления, действующей на одиночную частицу, на число частиц в единице объема. Поэтому при æ для вычисления межфазной силы можно использовать формулы, справедливые для случая омывания одиночной частицы потоком, которые мы получили ранее.

В случаях конечного значения объемной концентрации (æ ) для расчета межфазной силы используется приближенный подход – так называемая ячеечная модель.

В рамках этой модели предполагается, что вся дисперсная система может быть разделена на одинаковые ячейки. В центре каждой ячейки, форму которой принимают сферической, располагается одна частица, размер ячейки зависит от размера частиц и их концентрации.

Будем предполагать, что все частицы имеют одинаковый размер и являются сферическими. Пусть концентрация частиц с радиусом равна æ. Число частиц в системе

Каждая частица окружена сплошной средой, объем которой равен

Этот же объем можно выразить через объемную концентрацию

(1-æ)

где æ=

Приравнивая правой части двух последних формул находим радиус ячейки:

æ (1)

Использование ячеейной модели позволяет свести задачу описания механического взаимодействия дисперсных частиц к решению уравнений Навье-Стокса, записанных для сплошной среды, движущейся в области, ограниченной двумя сферами. Граничные условия на поверхности частицы, находящейся в центре ячейки, зависит от агрегатного состояния частицы и сформулировано нами ранее. Кроме граничных условий на поверхности частицы необходимо сформулировать также два граничных условия на внешней поверхности ячеек. В качестве одного из них задается обычно условие обращения в нуль нормальной составляющее скорости сплошной среды на границе ячейки. Это условие означает, что возмущение, вносимое в поток, рассматриваемое частицей, локализовано в пределах ячейки.

Второе граничное условие не столь очевидно и различными исследователями задается по-разному.

Известно, что одно из граничных условий в ячеечной модели выражает обращение в нуль на внешней границе ячейки нормальной составляющей скорости сплошной среды. Объясните физический смысл этого граничного условия.

Использование ячеейной модели позволяет свести задачу описания механического взаимодействия дисперсных частиц к решению уравнений Навье-Стокса, записанных для сплошной среды, движущейся в области, ограниченной двумя сферами. Граничные условия на поверхности частицы, находящейся в центре ячейки, зависит от агрегатного состояния частицы и сформулировано нами ранее. Кроме граничных условий на поверхности частицы необходимо сформулировать также два граничных условия на внешней поверхности ячеек. В качестве одного из них задается обычно условие обращения в нуль нормальной составляющее скорости сплошной среды на границе ячейки. Это условие означает, что возмущение, вносимое в поток, рассматриваемое частицей, локализовано в пределах ячейки.

6-29 В чем содержание модели Хаппеля и почему согласно этой модели внешняя граница ячейки является «свободной поверхностью»?

В этой модели принимается, что жидкость является неподвижной, а ансамбль шаров движется сквозь жидкость с постоянной скоростью. Согласно этой модели весь объем слоя делится на отдельные независивые ячейки, каждая из которых содержит лишь один движущийся шар диаметром d₁, а жидкость окружает этот шар в виде сферы с диаметром d₂.

В модели Хаппеля на внешней границе ячейки выставляется условие обращение в нуль касательного напряжения. При этом предполагается, что внешняя граница играет роль «свободной поверхности».

6-30 В чем содержание модели Кувабары и чем она отличается от модели Хаппеля?

В модели Хаппеля на внешней границе ячейки выставляется условие обращение в нуль касательного напряжения. При этом предполагается, что внешняя граница играет роль свободной поверхности. В модели Кувабары на внешней границе выставляется условие обращения в нуль завихренности потока. Обе модели позволяют задать второе граничное условие на внешней поверхности ячеек.