Сферическая система координат

В сферической системе координат положение точки М определяется координатами (), где – расстояние от точки М до начала координат, – угол между осью 0х и отрезком 0M^′ – азимутальный угол, точка M^′ – проекция точки М на плоскость y0х; – угол между осью 0z и отрезком 0M – полярный угол.

Формулы, связывающие декартовые координаты со сферическими, имеют вид

; ;

;

и, с другой стороны

(3.4)

0, если х > 0 и y > 0

π, если х < 0

2π, если х > 0 и y < 0

Сферические координаты изменяются в следующих пределах ; ; .

При использовании как цилиндрической, так и сферической системы координат математическое описание задачи существенно упрощается, если рассмотрению подлежит осесимметрическое движение среды. Движение называется осесимметричным, если существует такая ось, относительно которой в плоскости, перпендикулярной к ней, параметры движения (скорость, давление и т.д.) не зависят от азимутального угла , а зависят только от расстояния до оси симметрии. Из этого следует, что для осесимметричного движения, и , т.е. число независимых переменных, подлежащих определению, сокращается на один и в оставшихся уравнениях исчезают слагаемые, связанные с изменением искомых величин по координате .

4-3 С какой целью при исследовании гидродинамических задач в рассмотрение вводятся вспомогательные функции, потенциал скорости и функция тока? В каком случае используется потенциал скорости и в каком - функция тока?

В результате замены определяемой векторной величины скалярной функцией, система основных уравнений в модели сокращается на два уравнения. Чаще всего для замены вектора скорости используют одну из двух скалярных функций – функцию тока или потенциал скорости. Функцию тока применяют при исследовании плоского или пространственного, но осесимметричного движения, когда скорость является функцией двух координат. Потенциал скорости используют при исследовании безвихревого движения как плоского, так и пространственного.

Движение называется плоским, если существует такая плоскость, относительно которой все частицы потока движутся параллельно ей, а на произвольной прямой, нормальной к этой плоскости, значения скорости и давления во всех точках одинаковы.

Безвихревое (потенциальное) течение жидкости – это такое движение, при котором каждый малый объём деформируется и перемещается поступательно, не имея вращения (вихря). Может иметь место при определённых условиях только для идеальной (лишённой трения) жидкости. У реальных жидкостей и газов безвихревое движение происходит в тех областях, где отсутствуют или исчезающе малы силы внутреннего трения и в начальный момент времени во всех точках движущейся среды вихрь скорости равен нулю. Последнее условие записывается следующим образом:

при (3.17)

Изучение безвихревого движения существенно упрощается тем, что сводится к отысканию только одной функции координат и времени, называется потенциальной функцией.

(3.18)

Функция называется потенциалом скорости.

Движение называется осесимметричным, если существует такая ось, относительно которой в плоскости, перпендикулярной к ней, параметры движения (скорость, давление и т.д.) не зависят от азимутального угла , а зависят только от расстояния до оси симметрии. Из этого следует, что для осесимметричного движения, и , т.е. число независимых переменных, подлежащих определению, сокращается на один и в оставшихся уравнениях исчезают слагаемые, связанные с изменением искомых величин по координате .