Дисперсия и ее св-ва. Среднее квадратическое отклонение

Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:

(43)

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения x₁, x₂,..., x_n соответственно с вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Очевидно, случайная величина принимает значения

с теми же вероятностями p₁, p₂,..., p_n. Следовательно, согласно определению математического ожидания дискретной случайной величины, имеем

(44)

Если же - случайная величина с плотностью распределения , то по определению

(45)

Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем

Так как и - постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим

Следовательно,

Откуда окончательно находим

(46)

Рассмотрим теперь свойства дисперсии.

1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)

2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

(47)

(Доказательство)

3°. Если и - независимые случайные величины, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:

(48)

(Доказательство)

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

(49)

Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина .