Статистическая независимость случайных событий

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если для любых двух интервалов D1 и D2 события, заключающиеся в том, что значение Х принадлежит D1, а значение Y ‒ интервалу D2, независимы. На гипотезе Н. тех или иных событий и случайных величин основаны важнейшие схемы теории вероятностей

Вопрос № 7. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Говорят, что события Н1, Н2, …Нn составляют полную группу событий, если все они попарно несовместны и в сумме составляют все пространство элементарных событий Н1, Н2, …Нn=

Когда осуществление события А зависит от того, какое из событий Н1, Н2, …Нn, составляющих полную группу событий, произошло, применяют формулу полной вероятности: P(A)= . При этом, события Hi называются гипотезами.

Формула Байеса позволяет пересчитывать имеющиеся априорные (доопытные) вероятности гипотез Н1, Н2, …, Hn, когда становится известно, что произошло некоторое событие А: .

Вопрос № 8. Дискретные случайные величины.

Случайными величинами называются величины, которые в результате испытания могут принимать с определенными вероятностями те или иные возможные значения, заранее не известные. Обозначают случайные события прописными латинскими буквами. Дискретной случайной величиной называется случайная величина, возможные значения которой образуют конечное или счетное множество.

9. Законы распределения дискретных случайных величин: вырожденный, геометрический, гипергеометрический, Бернулли, биномиальный, Пуассона.

Вопрос № 10. Непрерывные случайные величины. Вопрос № 11. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Квантили распределения случайной величины.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. В частных случаях это может быть не один промежуток, а объединение нескольких промежутков.

Для непрерывной случайной величины вводится еще одна характеристика закона распределения – плотность распределения f(x), равная производной от функции распределения: f(x)=F’(x).

Функция распределения F(x) находится по данной плотности распределения f(x) по формуле F(X)= .

Плотность распределения – неотрицательная функция; площадь, ограниченная ее графиком и осью абсцисс, равна 1.

С использованием функции распределения F(x) и плотности распределения f(x) записывается вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (a;b): .

Когда длина интервала достаточно мала (, справедлива приближенная формула:

Любая непрерывная случайная величина каждое отдельное конкретное значение принимает с вероятностью 0:P(X=x)=0.

Вопрос № 12. Непрерывные случайные величины. Плотность распределения и ее свойства.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Так как для таких случайных величин функция F(x) нигде не имеет скачков, то вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю

P { X = α }=0 для любого α.

В качестве закона распределения, имеющего смысл только для непрерывных случайных величин существует понятие плотности распределения или плотности вероятности.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины X на участок от x до x +D x равна приращению функции распределения на этом участке:

P{ x£ X < x +D x }= F (x +D x) - F (x).

Плотность вероятности на этом участке определяется отношением

(5.6)

Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f (x). График плотности распределения называется кривой распределения.

Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f (x) dx. Эта величина называется элементом вероятности.

Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [ a, b ] равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:

(5.7)

В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f (x) и опирающейся на участок (α,β) (рис. 5.4).

Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F (x) случайной величины X через ее плотность:

(5.8)

В геометрической интерпретации F (x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f (x) и лежащей левее точки x (рис. 5.5).

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: f (x) ³ 0.

Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.

2. Условие нормировки: Это свойство следует из формулы (5.8), если положить в ней x =∞.

Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:

1. вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;

2. полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.