Многомерные случайные величины с дискретными компонентами

МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ - являются инструментарием предназначенным для моделирования (исследования) объектов (процессов) вероятностной природы, характеризующихся наличием большого количества контролируемых и регистрируемых показателей. Методы позволяют среди множества альтернативных моделей выбрать наилучшую в статистическом смысле.

В многомерном статистическом анализе изучаются генеральные совокупности нескольких (двух и более) признаков. Это множество признаков может быть представлено вектором

X = (x₁, x₂,..., x_k)^т

где x₁, x₂,..., x_k -компоненты вектора;

т -знак транспонирования.

Таким образом, объектом исследования в многомерном статистическом анализе является система k случайных величин или k-мерный случайный вектор.

Если все компоненты вектора X непрерывные случайные величины, то говорят о непрерывной k-мерной случайной величине. Если все компоненты вектора X дискретные случайные величины, то говорят о дискретной k-мерной случайной величине. Если среди компонент присутствуют как дискретные, так и непрерывные случайные величины, то говорят о смешанной k-мерной случайной величине.

Описание поведения k-мерной случайной величины означает указание способа вычисления вероятностей получения заданных значений дискретных компонент и вероятностей попадания в заданные интервалы значений непрерывных компонент. В многомерном статистическом анализе наиболее распространенными способами описания являются аналитический и параметрический (графический или табличный затруднен в следствие многомерности). Как и в одномерных статистических методах в многомерных используются две функции: F(X) - функция распределения k-мерной случайной величины и f(X) - функция плотности вероятностей k-мерной случайной величины.

Функция распределения k-мерной случайной величины определяется следующим образом:

F(A) = P{x₁<a₁, x₂<a₂,..., x_k<a_k} = P(X<A)

где A = (a₁, a₂,..., a_k)^т -k-мерный вектор заданных действительных чисел.

По аналогии F(B) = P{x₁<b₁, x₂<b₂,..., x_k<b_k} = P(X<B), следовательно, если A<B, то:

P{a₁<x₁<b₁, a₂<x₂<b₂,..., a_k<x_k<b_k} = P(A<X<B) = F(B) - F(A)

удовлетворяет формуле вычисления вероятности попадания значения k-мерной случайной величины в k-мерный параллелепипед с плоскостями, параллельными координатным осям.

Функция распределения случайного k-мерного вектора является детерминированной, неотрицательной и обладает свойствами:

• F(X) = 0, если хотя бы одна компонента вектора X равна -∞;
• F(X) = 1, если все компоненты вектора X равны ∞

Функция распределения F(X) непрерывной k-мерной случайной величины является непрерывной по определению. Непрерывная k-мерная случайная величина имеет плотность распределения вероятностей f(X) = f(x₁, x₂,..., x_k) ≥ 0, удовлетворяющую условию:

Плотность распределения вероятностей обладает свойствами:

Плотности вероятностей подсистемы m случайных величин (1 ≤ m < k) называют частными или маргинальными распределениями. Условными распределениями случайного вектора X называются распределения подсистемы m его компонент (1 ≤ m < k) при условии, что остальные k - m компоненты являются фиксированными. Эти компоненты от нефиксируемых отделяются косой чертой. Например пусть m=2, а k=5, тогда функция вероятности условного распределения компонент x₂ и x₅ записывается следующим образом: F (x₂, x₅/x₁,x₃,x₄), а соответственно функция плотности вероятности f (x₂, x₅/x₁,x₃,x₄).

Подсистема из m компонент и дополнительная подсистема m - k компонент вектора X называются независимыми, если справедливо равенство:

F(x₁, x₂,..., x_k) = F(x_i1, x_i2,..., x_im) * F(x_im+1, x_im+2,..., x_ik)

В частности компоненты X называются независимыми, если:

F(x₁, x₂,..., x_k) = F(x₁)*F(x₂)*... *F(x_k).