Нелінійні системи (побудова фазових траєкторій методом ізоклін)

Построение фазовых траектория нели­нейных АСР можно выполнить также ме­тодом изоклин. Для этого сначала на фазовой плоскости строят линии, соответствующие алгебраическому уравнению

Каждому значению с (рис. 2.47) соот­ветствует своя линия, называемая изоклиной. Изоклина — это геометрическое место точек с одинаковым наклоном фазовых траекторий, проходящих через эти точки, т. е. для точек изоклины

Используя свойство изоклин (2.188), фа­зовые траектории строят в следующем порядке. Берут произвольную точку М₁ на изоклине с₁ и из нее проводят две прямые до пересечения с изоклиной с₂, Первую прямую проводят под углом arctic, соот­ветствующим углу наклона фазовых траекто­рий в точках изоклины с₁. Вторую прямую проводят под углом arctgс₁, соответствую­щим углу наклона фазовых траекторий в точках изоклины с₂. Точка М_г на изоклине с₂ находится как середина пересечения изо­клины с₂ с обеими прямыми. Далее ана­логичным образом из точки М₂ проводят две прямые с углами наклона arctgс₂ и arctg с₃ до пересечения с изоклиной с₃, на которой находят точку М₃. Поступая анало­гичным образом, находят ряд точек M₃, соединив которые, получают фазовую тра­екторию АСР.

Отличительной особенностью фазовых портретов нелинейных АСР является наличие в них замкнутых фазовых траекторий, на­зываемых предельными циклами, которым соответствуют автоколебания. Предельные циклы бывают устойчивыми, полуустойчивыми и неустойчивыми.

Устойчивый предельный цикл соответ­ствует устойчивым автоколебаниям, он ха­рактеризуется тем, что фазовые траектории накручиваются на него с обеих сторон (рис. 2.48, а). Полуустойчивый предельный цикл характеризуется тем, что фазовые тра­ектории накручиваются на него с одной сто­роны и скручиваются с другой (рис. 2.48,6). Для неустойчивого предельного цикла фазо­вые траектории скручиваются с него с обеих сторон (рис. 2.48,в). Фазовый портрет нели­нейных АСР может иметь несколько предельных циклов (рис. 2.48,г).

Фазовый портрет нелинейных АСР, опи­сываемых дифференциальными уравнениями не выше второго порядка, лает полное пред­ставление о динамике нелинейной системы при детерминированных воздействиях, вклю­чая точность, устойчивость и качество регулирования.

По фазовой траектории можно по­строить переходный процесс. Для этого поступают следующим образом (рис 2.49):

а) вычерчивают фазовую траекторию;

б) выбирают временной шаг Δt(построе­ния у (t) = у (nΔt), где л — целое число;

в) определяют угол β= 2 arctg (Δt/2);

г) из точки у (t)=у₀. определяемой на­чальными условиями, проводят прямую под углом α=90° — β/2 до пересечения с фазо­вой траекторией в точке b₁,

д) из точки b₁ проводят прямую под углом β до пересечения с осью у в точке a₁;

е) точку a₁ проецируют в плоскости y(t) в точку d₁;

ж) из точки а, проводят прямую под углом α=90° — β/2 до пересечения с фазовой траекторией в точке b₃;

з) из точки bi проводят прямую под углом р до пересечения с осью у в точке а₂;

и) точку а₂ проецируют в плоскости у (t) в точку d₁ поступая аналогичным образом, находят точки d, искомой y(t).

По построенному таким образом пере­ходному процессу y(t) можно достаточно объективно оценить качество регулирования в нелинейной АСР при различных начальных условиях.